Pour aller plus loin : des fonctions qui se déduisent de la fonction carré

I. Les fonctions $x \mapsto (x+a)^2$

La représentation graphique de la fonction $x \mapsto (x+a)^2$ est l'image de la représentation graphique de la fonction carré par une translation « horizontale » :

La fonction $x \mapsto (x-3)^2$ est représentée par la courbe (rouge) de la fonction carré (verte) suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$.

La fonction $x \mapsto (x+4)^2$ est représentée par la courbe (bleue) de la fonction carré (verte) suivie d'une translation de vecteur $\vec{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Amuse toi ! Représenter la fonction $x \mapsto (x+3)^2$.

II. Les fonctions $x \mapsto x^2 + b$

La représentation graphique de la fonction $x \mapsto x^2 + b$ est l'image de la représentation graphique de la fonction carré par une translation « verticale » :

La fonction $x \mapsto x^2 + 3$ est représentée par la courbe (rouge) de la fonction carré (verte) suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$.

La fonction $x \mapsto x^2 - 4$ est représentée par la courbe (bleue) de la fonction carré suivie d'une translation de vecteur $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$.

Exercice : Représenter la fonction $x \mapsto x^2 + 4$.

III. Cas général

En général, vu que $x^2 + a x + b = (x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=-\dfrac{a}{2}$ et $\beta=b-\dfrac{a^2}{4}$, la représentation graphique de toute fonction trinôme du type $x \mapsto x^2 + ax + b$ est l'image de la représentation graphique de la fonction carrée par une translation.

La fonction $x \mapsto (x + 3)^2 + 4 = x^2 + 6 x + 13$ est représentée par la courbe de la fonction carré suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ puis d'une translation de vecteur $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Amuse toi ! Représenter la fonction $x \mapsto x^2 + 6x + 5$.