Résoudre des problèmes géométriques avec les vecteurs

I. Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ou $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

Exemple :

Soit $A(0\,;\,0)$, $B(2\,;\,3)$, $C(5\,;\,3)$, $D(3\,;\,0)$
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

II. Démontrer les coordonnées du milieu d’un segment

Le milieu $M$ d’un segment $[AB]$ a pour coordonnées :

Démonstration :

$M = \left( \dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2} \right)$

C’est très utile pour prouver qu’un vecteur coupe un segment en son milieu (milieu commun à deux diagonales, etc.)

Exemple :

$A(2\,;\,4)$, $B(6\,;\,0)$
Milieu $M \,:\, \left( \dfrac{2 + 6}{2}\,;\,\dfrac{4 + 0}{2} \right) = (4\,;\,2)$

III. Résoudre un problème d’intersection ou de point inconnu

On peut exprimer un point inconnu en imposant une égalité vectorielle.

Exemple :

Soit $E$ le point tel que $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}$.
On cherche les coordonnées de $E$ sachant celles de $A$, $B$ et $C$.

On calcule $\overrightarrow{BC}$, puis on écrit l'égalité des vecteurs : $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}$

Exemples d'application

Exemple 1 :

Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme
$A(1_,;\,1)$, $B(3\,;\,4)$, $C(6\,;\,4)$, $D(4\,;\,1)$
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Donc $ABCD$ est un parallélogramme

Exemple 2 :

Trouver les coordonnées du point $M$ milieu de $[AC]$ si $A(2\,;\,5)$ et $C(6\,;\,1)$
$M$ a pour coordonnées : $\left( \dfrac{2+6}{2}\,;\,\dfrac{5+1}{2} \right) = (4\,;\,3)$

Exemple 3 :

Trouver les coordonnées de $E$ tel que $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}$
$A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$, $C(7\,;\,6)$
$\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$
Donc on cherche $E$ de coordonnées $(x\,;y)$ tel que : $\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

Or $\overrightarrow{AE}=\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}$

On obtient :$\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

d'où, en égalant les abscisses et les ordonnées :

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$
Le point $E$ a pour coordonnées $(5\,;\,3)$

Exercices corrigés

Exercice 1 :

$A(0\,;_,0)$, $B(3\,;\,2)$, $C(6\,;\,2)$, $D(3\,;\,0)$
Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme

Correction :

$\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 20 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 20 \end{pmatrix}$
Donc $ABCD$ est un parallélogramme

Exercice 2 :

Trouver les coordonnées du point $M$ milieu de $[AB]$ avec $A(-2\,;\,25)$, $B(4\,;\,-1)$

Correction :
$M$ a pour coordonnées : $\left( \dfrac{-2+4}{2}\,;\,\dfrac{25 + (-1)}{2} \right) = (1\,;\,12)$

Exercice 3 :

Soit $A(0\,;\,20)$, $B(2\,;\,21)$, $C(5\,;\,24)$
Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BC}$

Correction :
$\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

On cherche $E(x\,;\,y)$ tel que : $\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x-0 \\ y-20 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ 3\end{pmatrix}$

Soit en égalant les coordonnées : $\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ 23\end{pmatrix}$
Les coordonnées de $E$ sont $(3\,;23)$.

Résumé à retenir

• Un parallélogramme peut être prouvé par égalité de vecteurs ou de diagonales.

• Les coordonnées d'un milieu doivent être connues par cœur.

• On peut trouver un point inconnu en exprimant une égalité vectorielle.