Positions relatives de deux droites de l’espace

Pour repérer un point sur une droite, on a besoin de deux points distincts.
La droite contenant les points $A$ et $B$ se nomme la droite $(AB)$.

Remarque : une droite se caractérise par un point et une direction, celle du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Deux possibilités : Ou les droites sont coplanaires, ou les droites sont non coplanaires.

Définition :
Deux droites sont dites coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans un même plan.

Remarque :
Dans ce cas, elles sont soit parallèles au sens large ou au sens strict), soit sécantes et nous pouvons appliquer les propriétés et théorèmes vus en géométrie plane.

Dans le plan $(ABC) : (AB) // (CD)$
$(AB)$ et $(BC)$ sont sécantes.
Dans le plan $(ABG) : (AB) // (GH)$
$(AB)$ et $(BG)$ sont sécantes.

Transitivité du parallélisme :
Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Une démonstration classique : dans l'espace, pour montrer que deux droites sont parallèles, on peut montrer qu'elles sont respectivement les intersections de $(P)$ et de $(P')$ plans parallèles, coupés par un plan $(Q)$. Ceci repose sur la propriété suivante.

Si deux plans sont parallèles alors tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et leurs intersections sont deux droites parallèles.

Définition :
Deux droites sont dites non-coplanaires lorsqu’elles ne sont pas contenues dans un même plan.

Exemple :

Dans le cube précédent, les droites $(AB)$ et $(CG)$ ne sont contenues dans aucun plan commun. Elles sont non-coplanaires.

Remarque :
Dans l’espace, deux droites peuvent être non parallèles et non sécantes (exemple de $(AB)$ et $(CG)$.

Droites orthogonales

Définition :
Deux droites de l'espace sont dites orthogonales lorsqu'il existe une droite parallèle à l'une et perpendiculaire à l'autre.

Exemple :
Dans le cube ABCDEFGH, nous avons :
$\left \lbrace \begin{array}{c} (EF)\parallel (AB) \\ (AB)\perp (BC) \ \end{array} \right. \Rightarrow (EF) \text{ et } (BC) \text{ sont orthogonales.}$

Quand utiliser la terminologie "perpendiculaire" ? On utilise la terminologie de droites perpendiculaires pour des droites orthogonales et coplanaires donc sécantes. Exemple : Dans ce cube, on a par exemple : $(AB)\perp (AD)$

Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre, et toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

Si deux droites sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l’une est orthogonale à l’autre. Mais, toute droite orthogonale à l’une n’est pas forcément parallèle à l’autre.

Propriété 3 :
Si une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Exemple :

Dans le cube $ABCDEFGH$, la droite $(FB)$ est orthogonale à $(ABC)$, ainsi $(FB)$ est orthogonale à $(AC)$.

Propriété 4 :
Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles.

Soit un plan $P$, $A$ et $B$ deux points distincts de $P$, et $S$ un point n'appartenant pas à $P$. On considère le milieu $I$ de $[SA]$ et le point $J$ de $[SB]$ tel que $SJ = \dfrac{3}{4}SB$.

Déterminer l'intersection de la droite $(IJ)$ avec le plan $P$.

Les points $A$, $B$ et $S$ forment un plan que l'on appelle $Q$ car le point $S$ qui n'est pas dans le plan $P$ ne peut pas être aligné avec $A$ et $B$, deux points distincts de $P$.
Puisque les points $A$ et $B$ sont à la fois dans les plans $P$ et $Q$, la droite $(AB)$ est l'intersection de ces deux plans.
$I$ étant le milieu de $[SA]$ et $J$ étant sur la droite $(SB)$, alors les points $I$ et $J$ appartiennent au plan $Q$.
Nous avons les égalités suivantes :
$\dfrac{\text{SI}}{\text{SA}} = \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{\text{SJ}}{\text{SB}} = \dfrac{3}{4}$
La réciproque du théorème de Thalès n'étant pas vérifiée, les droites $(IJ)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles. Appelons $K$ leur point d'intersection.
Le point $K$ appartient à la droite $(IJ)$ et au plan $P$ (puisqu'il est sur $(AB)$).

Conclusion : Le point $K$ est l'intersection de la droite $(IJ)$ avec le plan $P$.