On peut étendre à l’espace, qui est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k), la notion de vecteur vue dans le plan, et les opérations associées.
I. Définitions et opérations
1) Vecteurs de l’espace
Soit A et B deux points de l’espace. Le vecteur AB est défini par :
sa direction, celle de la droite (AB) ;
son sens, de A vers B ;
sa norme, notée ∣∣AB∣∣ , qui est la distance AB=∣∣AB∣∣ .
Comme en géométrie plane, on peut définir la translation de vecteur AB (notée tAB) qui transforme le point A en le point B.
Pour tous points A, B, C, D :
AB=CD⇔ABCD est un parallélogramme.
2) Addition de deux vecteurs
Soit u et v deux vecteurs. On définit le vecteur u+v en construisant un parallélogramme : si u=AB et v=AC ,
alors u+v=AD tel que ABDC est un parallélogramme. L’image du point C par la translation de vecteur AB est D.
Pour tous les points A, B et C : AB+BC=AC (relation de Chasles).
3) Multiplication d’un vecteur par un réel
Soit u un vecteur de l’espace, u=0, et α un réel, α≠0.
Le produit du vecteur u par le réel α est le vecteur noté au qui a :
la même direction que u ;
le même sens que u si α>0, le sens contraire si α<0 ;
pour norme ∣∣au∣∣=∣a∣×∣∣u∣∣ .
Si u=0 ou α=0, alors au=0 .
Pour tous nombres réels a et b, et tous vecteurs u et v de l’espace :
Comme dans le plan, le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur dont la norme est égale à 0. L’opposé d’un vecteur u est le vecteur −u .
a(u+v)=au+av et (a+b)u=au+bv.
II. Vecteurs colinéaires et points alignés, coordonnées
Soit A, B et C trois points de l’espace.
A, B, C alignés ⇔AB et AC colinéaires ⇔ Il existe a∈R tel que AC=aAB.
Pour tous vecteurs u (x ; y ; z) et v (x′ ; y′ ; z′) de l’espace, et tout a∈ℝ : u+v (x+x′ ; y+y′ ; z+z′) et au (a x ; a y ; a z).
Soit A(xA;yA;zA) et B(xB ; yB ; zB) deux points de l’espace. On note I le milieu de [AB].
AB (xB−xA;yB−yA;zB−zA)
I (2xA+xB;2yA+yB;2zA+zB)
Pour tous points A(xA;yA;zA) et B(xB ; yB ; zB) de l’espace :
∣∣AB∣∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2=AB
Méthode
Utiliser les propriétés des vecteurs de l’espace
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère les points A(2 ; − 1 ; 3), B(−1 ; − 2 ; 5) et C(8 ; 1 ; − 1).
a. Démontrer que les points A, B et C sont alignés.
b. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AC].
a. Commencez par calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC, puis cherchez un nombre réel a tel que AC=a×AB.
b. Appliquez la formule I (2xA+xB;2yA+yB;2zA+zB).
Solution
a. AB (−1−2;− 2−(−1);5−3), soit AB (−3;− 1;2).
AC (8−2;1−(−1);− 1−3), soit AC (6;2;− 4).
Ainsi AC = −2AB, donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Les points A, B et C sont donc alignés.
b. I (22+8;2−1+1;23+(−1)), soit I (5;0;1).