Position relative des courbes d'équation y=x, y=x² et y=x³

I. A mémoriser

D'après le dessin :

II. Démontrons ces résultats (au programme)

1. Pour $x \in \left]0\,;\,1\right[$, on désire démontrer que : $x^3 \lt x^2 \lt x$

Démonstration :

Comme $x \in \left]0\,;\,1\right[$, on a $0 \lt x \lt 1$

On compare $x^2$ et $x$ :
$x^2 - x = x(x - 1)$
Or $x \in \left]0\,;\,1\right[$ donc $x \gt 0$ et $x - 1 \lt 0$
Donc $x(x - 1) \lt 0$ $\Rightarrow$ $x^2 - x \lt 0$ $\Rightarrow$ $x^2 \lt x$

On compare $x^3$ et $x^2$ :
$x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$
Or $x^2 \gt 0$ et $x - 1 \lt 0$ donc $x^2(x - 1) \lt 0$
Donc $x^3 - x^2 \lt 0$ $\Rightarrow$ $x^3 \lt x^2$

Conclusion : $x^3 \lt x^2 \lt x$

2. Pour $x = 0$ ou $x = 1$, on désire démontrer que : $x^3 = x^2 = x$

Vérification directe :

• Si $x = 0$, alors $x^3 = 0^3 = 0$, $x^2 = 0^2 = 0$, donc $x^3 = x^2 = x = 0$

• Si $x = 1$, alors $x^3 = 1^3 = 1$, $x^2 = 1^2 = 1$, donc $x^3 = x^2 = x = 1$

3. Pour $x \in \left]1\,;\,+\infty\right[$, on désire démontrer que : $x^3 \gt x^2 \gt x$

Démonstration :

Comparons $x^2$ et $x$ :
$x^2 - x = x(x - 1)$
Ici, $x \gt 1$ donc $x \gt 0$ et $x - 1 \gt 0$
Donc $x(x - 1) \gt 0$ $\Rightarrow$ $x^2 \gt x$

Comparons $x^3$ et $x^2$ :
$x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$
Ici, $x^2 \gt 0$ et $x - 1 \gt 0$ donc $x^2(x - 1) \gt 0$
Donc $x^3 - x^2 \gt 0$ $\Rightarrow$ $x^3 \gt x^2$

Conclusion : $x^3 \gt x^2 \gt x$

III. La démonstration avec une organisation en tableau de signes

Étape 1 : Identifier les expressions à étudier

On veut comparer les puissances deux à deux :

1. Comparer $x^2$ et $x$ → on étudie le signe de $x^2 - x = x(x - 1)$

2. Comparer $x^3$ et $x^2$ → on étudie le signe de $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$

Ces deux expressions ont des racines évidentes : $x = 0$ et $x = 1$.

Étape 2 : Construire le tableau ligne par ligne

On pose les colonnes avec les valeurs repérées : $x = 0$ et $x = 1$

Ligne 1 : Valeurs de $x$ qui annulent une des expressions

Ligne 2 : Signe de $x$
$x$ est nul en $x = 0$ ; positif sur $]0\; ;\; +\infty[$

Ligne 3 : Signe de $(x - 1)$
Nul en $x = 1$ ; négatif pour $x<1$, positif pour $x>1$.

Ligne 4 : Signe de $x^2 - x = x(x - 1)$
On fait le produit ligne 2 × ligne 3

Ligne 5 : Signe de $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$
Attention ici : $x^2$ est toujours positif ou nul donc le signe est donné par $(x - 1)$.

👉 0n recopie dans le tableau ce que l'on a démontré auparavant !

• Pour $x \in \left]0\,;\,1\right[$, on a :

  • $x(x - 1) \lt 0$ donc $x^2 \lt x$

  • $x^2(x - 1) \lt 0$ donc $x^3 \lt x^2$
    → $x^3 \lt x^2 \lt x$

• Pour $x = 0$ ou $x = 1$ :

  • $x = x^2 = x^3$

• Pour $x \in \left]1\,;\,+\infty\right[$ :

  • $x(x - 1) \gt 0$ donc $x^2 \gt x$

  • $x^2(x - 1) \gt 0$ donc $x^3 \gt x^2$
    → $x^3 \gt x^2 \gt x$

👉 Un tableau n'est qu'une organisation, il ne faut pas oublier de conclure à la fin !

IV. Un exercice d'application

Exercice : Le dosage d’un médicament

Un laboratoire étudie les effets d’un médicament dont la concentration dans le sang dépend d’un paramètre $x$ compris entre $0$ et $2$.
On modélise l'effet du médicament par trois quantités différentes, selon le type de patient :

• Effet chez l’adulte : $E_A(x) = x$

• Effet chez l’adolescent : $E_{Ad}(x) = x^2$

• Effet chez l’enfant : $E_E(x) = x^3$

1. Pour $x = 0{,}5$, calcule $E_A(x)$, $E_{Ad}(x)$ et $E_E(x)$, puis classe-les.
2. Même question pour $x = 1$ puis pour $x = 1{,}5$.
3. À partir de tes observations, quel est le public le plus sensible au médicament pour une faible dose $x \lt 1$ ? Et pour une forte dose $x \gt 1$ ? Justifie en t’appuyant sur des calculs et des factorisations.

Solution :

1. Pour $x = 0{,}5$ :

$E_A(0{,}5) = 0{,}5$
$E_{Ad}(0{,}5) = (0{,}5)^2 = 0{,}25$
$E_E(0{,}5) = (0{,}5)^3 = 0{,}125$

Classement : $E_E(x) \lt E_{Ad}(x) \lt E_A(x)$

2. Pour $x = 1$ :

$E_A(1) = 1$
$E_{Ad}(1) = 1^2 = 1$
$E_E(1) = 1^3 = 1$

Classement : $E_E(x) = E_{Ad}(x) = E_A(x)$

3. Pour $x = 1{,}5$ :

$E_A(1{,}5) = 1{,}5$
$E_{Ad}(1{,}5) = (1{,}5)^2 = 2{,}25$
$E_E(1{,}5) = (1{,}5)^3 = 3{,}375$

Classement : $E_E(x) \gt E_{Ad}(x) \gt E_A(x)$

4. Conclusion et justification :

• Pour $x \in \left]0\,;\,1\right[$, on observe : $x^3 \lt x^2 \lt x$
  Justification par factorisation :

$x^2 - x = x(x - 1) \lt 0$ donc $x^2 \lt x$
$x^3 - x^2 = x^2(x - 1) \lt 0$ donc $x^3 \lt x^2$

→ L’enfant est le moins sensible à faibles doses, l’adulte le plus sensible.

• Pour $x = 1$, tous les effets sont égaux.

• Pour $x \gt 1$, on observe : $x^3 \gt x^2 \gt x$
  Justification par factorisation :

$x^2 - x = x(x - 1) \gt 0$ donc $x^2 \gt x$
$x^3 - x^2 = x^2(x - 1) \gt 0$ donc $x^3 \gt x^2$

→ L’enfant est le plus sensible à fortes doses, l’adulte le moins sensible.