Introduction
Depuis l’Antiquité, les humains organisent les sons pour en faire de la musique. Parmi les structures fondamentales figure l’octave, perçue comme « le même son, plus aigu ou plus grave ». Cet intervalle correspond à un rapport de fréquences de 2 pour 1 : si un « la » vibre à 440 Hz (hertz, c’est-à-dire 440 vibrations par seconde), le « la » de l’octave supérieure vibre à 880 Hz. L’oreille reconnaît généralement ces deux sons comme une même identité musicale, décalée seulement en hauteur. À partir de cette base largement reconnue, chaque culture a inventé des gammes, systèmes qui organisent les notes dans l’octave. Leur histoire, de Pythagore à Bach, illustre l’articulation entre sciences, mathématiques, perception auditive et création artistique.
L’octave et les rapports de fréquences simples
L’octave est liée à la physique des vibrations. Lorsqu’une corde vibre à 440 Hz, elle engendre aussi des vibrations à 880 Hz, 1320 Hz, etc. Ces multiples entiers sont appelés harmoniques et forment le spectre du son. La plus basse de ces fréquences est la fréquence fondamentale : elle fixe la note perçue, tandis que les harmoniques déterminent le timbre (la « couleur sonore » qui permet de distinguer un violon d’une flûte jouant la même note).
Les musiciens de l’Antiquité avaient remarqué que les intervalles jugés agréables correspondaient à des rapports de fréquences simples :
2/1 pour l’octave,
3/2 pour la quinte,
4/3 pour la quarte.
Ces rapports entiers entre longueurs de cordes vibrantes ont été étudiés par Pythagore et ses disciples, qui firent le lien entre musique et mathématiques.
À retenir
L’octave correspond à un rapport 2/1. Les intervalles musicaux consonants (octave, quinte, quarte) reposent sur des rapports simples entre fréquences.
Des gammes antiques au tempérament égal
À partir de ces rapports, les musiciens ont construit des gammes. Mais un problème apparaît : en additionnant les intervalles (par exemple plusieurs quintes de rapport 3/2), on n’arrive pas exactement à retomber sur une octave (rapport 2/1). Autrement dit, les notes ne retombent pas exactement sur la même hauteur. Ce décalage est appelé plus tard le comma pythagoricien.
Pour contourner cette difficulté, différents tempéraments (systèmes d’accord) ont été inventés. Le plus utilisé aujourd’hui est le tempérament égal, adopté au XVIIᵉ siècle. Dans ce système, l’octave est divisée en 12 demi-tons égaux, chacun multipliant la fréquence par la racine douzième de 2 (≈ 1,059).
Par exemple, à partir d’un la à 440 Hz :
Le demi-ton supérieur (la♯/si♭) vaut environ 466 Hz.
Le si environ 494 Hz.
Et le do environ 523 Hz.
Ce système est moins « pur » que les rapports simples, mais il permet de jouer dans toutes les tonalités. Bach l’a illustré dans son œuvre Le Clavier bien tempéré.
À retenir
Les gammes antiques reposaient sur des rapports entiers, mais cela créait des décalages. Le tempérament égal divise l’octave en 12 demi-tons égaux, rendant toutes les tonalités jouables.
Décomposition spectrale et débats scientifiques
Au XVIIIe siècle, la question des cordes vibrantes a provoqué une controverse entre d’Alembert, Euler et Bernoulli. Ce débat ne concernait pas directement les gammes, mais la modélisation mathématique de la vibration des cordes. Chacun proposait une équation différente pour décrire le mouvement. Ces discussions appartiennent à la mécanique mathématique et ont ouvert la voie aux travaux ultérieurs sur l’analyse des sons.
Au XIXe siècle, Joseph Fourier a formalisé l’idée que tout signal périodique, comme un son musical, pouvait être décomposé en une somme de sinusoïdes. C’est la série de Fourier, qui fonde la notion de spectre sonore : la fondamentale donne la hauteur, les harmoniques définissent le timbre. Cette approche est aujourd’hui utilisée en acoustique, dans les égaliseurs audio ou encore pour la compression MP3 et la synthèse musicale numérique.
À retenir
Les débats sur les cordes vibrantes relevaient de la mécanique, et Fourier a donné la clé mathématique pour analyser les sons en harmoniques.
Diversité culturelle et perception auditive
L’oreille ne perçoit pas les sons en fonction de leur différence absolue de fréquence, mais en fonction de leur rapport. Par exemple, un intervalle de 100 Hz entre 200 Hz et 300 Hz est perçu comme très grand (car 300/200 = 1,5, une quinte), alors qu’un intervalle de 100 Hz entre 1000 Hz et 1100 Hz est perçu comme petit (1100/1000 = 1,1). Cette sensibilité aux rapports explique pourquoi l’octave (rapport 2/1) est largement reconnue.
Cependant, l’organisation des gammes varie selon les cultures. Certaines utilisent des gammes pentatoniques (5 sons, en Asie ou en Afrique), d’autres des gammes heptatoniques (7 sons, comme dans la musique occidentale), et d’autres encore des micro-intervalles plus fins que le demi-ton (dans les musiques arabes ou indiennes).
À retenir
L’oreille humaine est sensible aux rapports de fréquences, pas aux différences absolues. L’octave est largement reconnue, mais les gammes diffèrent selon les cultures.
Conclusion
L’octave, définie par un rapport de fréquences de 2 pour 1, constitue une base quasi universelle de la musique. Les rapports simples (2/1, 3/2, 4/3) ont inspiré les gammes antiques, tandis que le tempérament égal a permis, avec Bach, de jouer dans toutes les tonalités. Les controverses sur les cordes vibrantes, relevant de la mécanique mathématique, ont ouvert la voie à la théorie de Fourier, qui fonde la notion moderne de spectre sonore et ses applications. Enfin, la perception auditive, sensible aux rapports de fréquences, explique l’universalité relative de l’octave et la diversité culturelle des gammes. Ces notions, à la croisée de la physique, des mathématiques et de la musique, montrent comment les sciences éclairent nos pratiques artistiques et nos technologies sonores modernes.