Nombres, calculs, et grandeurs

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Fiche en cours de rédaction 

Ce fichier regroupe ce qui doit être bien maîtrisé des programmes des classes antérieures concernant : 

I. Calculs algériques, fractions

II. Petits nombres, grands nombres, puissances de 10, écriture scientifique

III. Ordre de grandeur, grandeurs quotients, masse volumique

IV. Calcul littéral, développer, factoriser

I. Calculs algébriques, fractions

a) Les parenthèses sont prioritaires

  • Dans un enchaînement de calculs, on commence par les parenthèses. Si plusieurs parenthèses emboîtées, commencer par les plus intérieures.

A=2×(5(3+1))=2×(54)=2×1=2A=2\times (5-(3+1))=2\times (5-4)=2\times 1=2

  • Le trait de fraction remplace les parenthèses.

Si on veut écrire en ligne le quotient 4+82\dfrac{4+8}{2}, on doit écrire (4+8)/2(4+8)/2 qui est égal à 66. En cas d'oubli de parenthèses, le calcul sera 4+8/24+8/2 qui vaut 4+4=84+4=8. Le principe est le même lorsqu'on utilise la calculatrice : ne pas oublier les parenthèses.

b) La multiplication ou le quotient sont prioritaires sur l'addition ou la soustraction.

B=5+3×4=5+12=17B=5+3\times 4=5+12=17

c) Opposé et inverse : ne pas les confondre

  • L'opposé de 22 est 2-2 ; l'opposé de 2-2 est 22.
  • L'inverse de 22 est 12\dfrac 12 ; l'inverse de 12\dfrac 12 est 22.
  • L'inverse de 23\dfrac 23 est 32\dfrac 32.

c) Calculer avec des nombres relatifs

(4)+(5)(7)=45+7=9+7=2(-4)+(-5)-(-7)=-4-5+7=-9+7=-2

d) Les fractions

  • Additionner ou soustraire des fractions : elles doivent impérativement avoir le même dénominateur. 

Je peux ajouter ou soustraire des tiers et des tiers, mais pas des tiers avec des quarts.

53+83=133\dfrac 53+\dfrac 83=\dfrac {13}{3}

5354=20121512=512\dfrac 53-\dfrac 54=\dfrac{20}{12}-\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{12}

  • Multiplier des fractions entre elles : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Inutile de réduire au même dénominateur.

53×54=5×53×4=2512\dfrac 53\times \dfrac 54=\dfrac{5\times 5}{3\times 4}=\dfrac{25}{12}

  • Diviser des fractions entre elles : on multiplie la première par l'inverse de la seconde.

5354=53×45=5×43×5=5×43×5=43\dfrac{\frac 53}{\frac 54}=\dfrac 53 \times \dfrac 45=\dfrac{5\times 4}{3\times 5}=\dfrac{{\cancel{5}}\times 4}{3\times {\cancel{5}}}=\dfrac{4}{3}

II. Petits nombres, grands nombres, puissances de 10, écriture scientifique

Exemples de petits nombres : 

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Exemples de grands nombres :

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Plutôt que d'utiliser ce vocabulaire, que ce soit en mathématiques, en PC ou en SVT, on utilise les puissances de 1010 et la notation scientifique. 

Notation scientifique et puissances de 10\mathbf{10}

Nombre en notation scientifique : nombre écrit sous la forme a×10na\times 10^n  avec aa nombre décimal tel que 1a1 \le a < 1010, et nn un nombre entier positif ou négatif.

Exemple : 0,00780,0078 s'écrit 7,8×1037,8\times 10^{-3} en écriture scientifique.

15461546 s'écrit 1,546×1031,546\times 10^3 en écriture scientifique.

Règles sur les puissances de 10{10}

mm et nn étant des entiers relatifs, c'est à dire des entiers positifs ou négatifs

10n=110n10^{-n}=\dfrac{1}{10^n} --> exemple : 105=110510^{-5}=\dfrac{1}{10^5}

10m×10n=10m+n10^m\times 10^n=10^{m+n} -->exemple : 107×103=101010^7\times 10^3=10^{10}

100=110^0=1

Attention : il n'y a pas de règle pour ajouter ou soustraire des puissances de 1010

Exemple : 104+102=10000+100=1010010^4+10^2=10\,000+100=10\,100

III. Ordre de grandeur, grandeurs quotients et masse volumique

Ordre de grandeur

Dans un calcul, souvent mené à la calculatrice, il est bon d'avoir en tête un ordre de grandeur du résultat, pour se vérifier. Dans la vie courante, sans calculatrice sous la main, cela peut également être utile.

Exemple : un calcul de physique a mené à ce résultat A=1500×103×2,3200000×4,5A=\dfrac{1500\times 10^3\times 2,3}{200\,000\times 4,5}. Un bon réflexe est d'utiliser les notations scientifiques.

A=1,5×103×103×2,32×105×4,5A=\dfrac{1,5\times 10^3\times 10^3\times 2,3}{2\times 10^5\times 4,5}

A=1,5×2,3×1062×4,5×105{\phantom{A}=\dfrac{1,5\times 2,3\times 10^6}{2\times 4,5\times 10^5}}

A=1,5×2,32×4,5×10{\phantom{A}=\dfrac{1,5\times 2,3}{2\times 4,5}\times 10}

A très gros traits, je vais dire que 1,521\dfrac{1,5}{2}\approx 1, que 2,34,512\dfrac{2,3}{4,5}\approx \dfrac 12 soit 0,50,5 et que lorsque je multiplie par 1010 je dois trouver un nombre de l'ordre de 55, mais certainement pas ni de l'ordre de 5050, ni de l'ordre de 0,050,05.

Lorsqu'on fait le calcul à la calculatrice de AA, on trouve : A=3,83A=3,83 (arrondi au centième) qui est bien dans l'ordre de grandeur trouvé précédemment. 

Grandeurs quotients

Une grandeur quotient est une grandeur obtenue en divisant deux grandeurs.

Une vitesse moyenne est le quotient de la distance par le temps. Dire qu'une voiture roule à la vitesse moyenne de 110110 km/h signifie que cette voiture parcourt en moyenne 110110 km en 11 heure.

Une densité de population est une grandeur quotient : on fait le quotient du nombre d'habitants par une superficie en kmet on obtient une densité exprimée en hab/km2.

Une masse volumique est une grandeur quotient. La masse volumique est le quotient d'une masse (unités : kg) par un volume (unités : m3)

Exemple : La masse volumique d'un sable fin est de 16001\,600 kg/m3. Quelle masse de sable a-t-on à transporter pour réaliser un bac à sable de 2,52,5 m3 ?

La masse de sable à transporter sera : M=1600×2,5=4000\mathcal M=1\,600\times 2,5=4\,000 kg soit 44 tonnes.

IV. Calcul littéral, développer, factoriser

Calcul littéral signifie calcul comportant des lettres, et éventuellement des nombres. Dans un calcul littéral, une lettre représente un nombre, que l'on ne connaît pas nécessairement. 

Exemple : le périmètre d'un cercle de rayon rr est P=2πr\mathcal P=2\pi\,r. Si rr est connu, P\mathcal P peut être calculé.