Mouvement dans un champ électrique uniforme

Cette fiche traite du mouvement des particules dans un champ électrique uniforme.

Elle aborde les sujets suivants :

$\bullet\quad$Champ électrique d'un condensateur plan ;

$\bullet\quad$Mouvement d'une particule dans un champ électrique uniforme ;

$\bullet\quad$Principe de l'accélérateur linéaire de particules.

Les aspects énergétiques d'un mouvement dans un champ uniforme sont abordés dans la fiche suivante.

Cette fiche est une application des lois de la mécanique de Newton, traitées dans la fiche suivante : Statique et Dynamique - Les lois de Newton.

I. Condensateur plan

$\bullet\quad$Définition :

$\quad\circ\quad$ Un condensateur plan est formé de deux plaques (ou armatures) métalliques parallèles, séparées d'une distance $d$ et soumises à une tension (ou différence de potentiel) $U_{AB}$ à l'aide d'un générateur (voir la figure ci-dessous).

$\quad\circ\quad$ Le champ électrique $\overrightarrow{E}$ qui règne alors entre ces plaques est considéré comme uniforme, et son expression est la suivante, dans le repère $(O~,~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j})$ de la figure ci-dessous :

$\boxed{\overrightarrow{E} = -E ~ \overrightarrow{j} = - \dfrac{U_{AB}}{d} ~ \overrightarrow{j}}$

$\quad\circ\quad$ Rappelons les caractéristiques de ce champ électrique $\overrightarrow{E}$ :

$\Longrightarrow$ Sa direction est perpendiculaire à la surface des plaques ;

$\Longrightarrow$ Il est orienté de la plaque positive vers la plaque négative ;

$\Longrightarrow$ Il est uniforme : sa norme est constante et vaut

$\dfrac{|U_{AB}|}{d}$ (en $V/m$)

$\bullet\quad$$\textcolor{red}{\text{ATTENTION !}}$

$\quad\circ\quad$ L'expression ci-dessus dépend de l'orientation de $\overrightarrow{j}$ qui est arbitraire.

$\quad\circ\quad$ Si $\overrightarrow{j}$ était inversé (c'est-à-dire orienté de la plaque positive vers la plaque négative), il faudrait écrire :

$\boxed{\overrightarrow{E} = E ~ \overrightarrow{j} = \dfrac{U_{AB}}{d} ~ \overrightarrow{j}}$

car le vecteur champ électrique $\overrightarrow{E}$ est toujours orienté de la plaque positive vers la plaque négative.

$\bullet\quad$Remarque : en réalité, le champ n'est uniforme que si on se place "loin du bord" des plaques. La figure ci-dessus n'est donc valable qu'en première approximation.

II. Particule chargée dans un champ électrique uniforme

$\bullet\quad$Dans ce chapitre, nous allons étudier le comportement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme.

$\bullet\quad$La particule est assimilée à un point matériel dont on négligera le poids (ce qui sera justifié par la suite).

$\bullet\quad$On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on choisit le repère cartésien $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ pour faire l'étude, comme indiqué sur les figures qui suivent.

1. Bilan des forces

$\bullet\quad$Une particule de charge $q$ (non nulle) et de masse $m$ est placée dans un champ électrique est soumise :

$\quad\circ\quad$ A la force de Coulomb $\overrightarrow{F} = q ~ \overrightarrow{E}$ ;

$\quad\circ\quad$ Et à son poids $\overrightarrow{P} = m ~ \overrightarrow{g}$ ;

$\textcolor{purple}{\textbf{a. Le poids}}$

$\bullet\quad$Il se trouve qu'à l'échelle atomique l'interaction gravitationnelle est totalement négligeable devant l'interaction électromagnétique.

$\bullet\quad$En effet, si on considère un proton soumis à un champ $E$ de $1~V/m$, le rapport

$\dfrac{E}{P} = \dfrac{E}{m \cdot g} = \dfrac{1}{10 \times 1,67 \; 10^{-27}} \approx 6.10^{25}$

ce qui montre que la force de Coulomb est déjà $10^{25}$ fois plus forte (!) que le poids dans un champ faible de $1~V/m$.

$\bullet\quad$Même pour un ion lourd, le poids est une force infime dont les effets ne sont pas mesurables s'il règne un champ électrique.

$\textcolor{purple}{\textbf{b. La force électrique (force de Coulomb)}}$

$\bullet\quad$En présence d'un champ électrique $\overrightarrow{E}$, toute particule de charge $q$ subit la force de Coulomb $\overrightarrow{F}$ dont l'expression est :

$\boxed{\overrightarrow{F} = q ~ \overrightarrow{E}}$

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{F}$ est donc colinéaire à $\overrightarrow{E}$ et le sens de $\overrightarrow{F}$ dépend du signe de la charge (voir figure) ;

$\quad\circ\quad$ La force électrique a le même sens que le champ $\overrightarrow{E}$ si la charge est positive ;

$\quad\circ\quad$ La force électrique est opposée au champ si la charge est négative.

Remarques :

$\bullet\quad$Ce bilan des forces n'est valable qu'aux conditions suivantes :

$\quad\circ\quad$ Le champ magnétique est nul (ou négligeable, comme celui de la Terre) ;

$\quad\circ\quad$ Les particules n'interagissent pas avec la matière (grâce à l'utilisation d'une enceinte sous vide par exemple). Ces conditions seront toujours remplies dans les situations étudiées au lycée.

$\bullet\quad$Les particules neutres ($q = 0$), comme les neutrons, ne subissent pas la force de Coulomb.

2. Équation du mouvement

$\bullet\quad$Considérons une charge ponctuelle soumise à la seule force de Coulomb, le poids étant négligeable.

$\bullet\quad$En appliquant la 2^e loi de Newton on obtient alors l'équation du mouvement de la particule :

$\boxed{\overrightarrow{a} = \dfrac{q}{m} \overrightarrow{E}}$

où

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{a}$ désigne l'accélération de la particule, $m$ sa masse et $q$ sa charge.

$\quad\circ\quad$ $q$ et $m$ sont des constantes propres à la particule tandis que le champ électrique est uniforme (donc $\overrightarrow{E}$ est constant) : on en déduit que le mouvement se fait avec une accélération $\vec{a}$ constante.

3. Déviation de particules chargées

$\bullet\quad$Les condensateurs plan peuvent servir à dévier un faisceau de particules chargées.

$\bullet\quad$Considérons un électron qui, à l'instant $t = 0$, entre dans le champ d'un condensateur plan en $O$, avec la vitesse horizontale $\overrightarrow{v_0}$ :

$\textcolor{purple}{\textbf{a. Bilan des forces / Équation du mouvement}}$

$\boxed{\vec{a} = \dfrac{q}{m} ~\overrightarrow{E}}$ (voir §II.1 et II.2)

où $q$ est ici la charge de l'électron et $m$ sa masse,

$\bullet\quad$$q = -e$ avec $e = 1,6 \times 10^{-19}~C$ (la charge $q$ est négative) ;

$\bullet\quad$$m = 9,1 \times 10^{-31}~ kg$ .

$\textcolor{purple}{\textbf{b. Équations horaires de la particule}}$

$\bullet\quad$Dans le repère $(O~,~\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j})$, exprimons :

$\quad\circ\quad$ le champ électrique : $\overrightarrow{E} = -E ~\overrightarrow{j}$ ou encore

$\overrightarrow{E} \begin{pmatrix} 0 \\ -E \end{pmatrix}$ (car le vecteur champ et $\overrightarrow{j}$ sont ici en sens opposé)

$\quad\circ\quad$ puis l'accélération : $\overrightarrow{a} ~ (a_x ~,~ a_y)$

On déduit les composantes de $\overrightarrow{a}$ de l'équation du mouvement :

$\boxed{\overrightarrow{a} = \dfrac{q}{m} ~ \overrightarrow{E}}$

$\overrightarrow{a} \begin{pmatrix} a_x(t) = 0 \\ a_y(t) = \dfrac{-q \cdot E}{m} \end{pmatrix}$

En intégrant une première fois par rapport au temps $t$, on obtient la vitesse $\overrightarrow{v} ~(v_x ~,~ v_y)$ :

$\begin{cases} v_x(t) = A \\ v_y(t) = \dfrac{-q \cdot E \cdot t}{m} + B \end{cases}$ où $A$ et $B$ sont des constantes.

Or, à $t = 0$, la vitesse initiale est $\vec{v_0}~ (v_0 ~,~ 0)$, donc :

$v_x(0) = A = v_0$ et $v_y(0) = B = 0$.

On en déduit la vitesse de la particule :

$\vec{v} \begin{pmatrix} v_x(t) = v_0 \\ v_y(t) = \dfrac{-q \cdot E \cdot t}{m} \end{pmatrix}$

Puis en intégrant une 2ème fois, on obtient la position $M ~(x~,~y)$ de la particule :

$\begin{cases} x(t) = v_0 \cdot t + C \\ y(t) = \dfrac{-q \cdot E \cdot t^2}{2m} + D \end{cases}$ où $C$ et $D$ sont des constantes.

Or, à $t = 0$, la particule est en $O$ donc : $x(0) = C = 0$ et $y(0) = D = 0$.

En obtient finalement les équations horaires de la particule :

$\boxed{ M \begin{cases} x(t) = v_0 \cdot t \\ y(t) = \dfrac{-q \cdot E \cdot t^2}{2m} = \dfrac{e \cdot E \cdot t^2}{2m} \; \text{car} \; q = -e \end{cases} }$

$\bullet\quad$Remarque importante : on peut vérifier la cohérence du résultat sur la figure en remarquant que la particule $M$ part de $O$ vers la droite et est soumise à une force $\overrightarrow{F} = q ~~ \overrightarrow{E} = -e ~~ \overrightarrow{E}$ qui est opposée au champ : elle est donc déviée vers la plaque positive, donc $x(t)$ et $y(t)$ doivent être ici positifs (compte tenu de l'orientation des axes), ce qui est bien le cas (pour $t \geq 0$).

$\textcolor{purple}{\textbf{c. Équation cartésienne de la trajectoire}}$

$\bullet\quad$On part des équations horaires et on cherche à éliminer le paramètre $t$.

$\bullet\quad$On remarque que $x(t) = v_0 \cdot t$ donc $t = \dfrac{x}{v_0}$ et on reporte la valeur de $t$ dans l'expression de $y$ :

$y = \dfrac{e \cdot E \cdot t^2}{2m} = \dfrac{e \cdot E \cdot x^2}{2 m \cdot v_0^2}$, ce qui donne l'équation de la trajectoire de la particule :

$\boxed{ y = \dfrac{e \cdot E}{2 m \cdot v_0^2} \cdot x^2 }$

Il s'agit d'une branche de parabole (représentée en vert sur la figure). Cette équation ne vaut que dans la zone où règne le champ électrique (pour $0\leq x\leq L$, en première approximation).

$\textcolor{purple}{\textbf{d. Calcul de la déviation}}$

$\bullet\quad$On s'intéresse à la position de la particule lorsqu'elle quitte le condensateur (en $S$) et plus particulièrement à la déviation $h$ par rapport à l'axe $(O~,~x)$. Le point $S$ est sur la parabole et on connaît son abscisse : $x_S = L$.

$\bullet\quad$On en déduit alors son ordonnée :

$y_S = \dfrac{e \cdot E}{2 m \cdot v_0^2} \cdot x_S^2 = \dfrac{e \cdot E}{2 m \cdot v_0^2} \cdot L^2$

$\bullet\quad$La déviation vaut donc : $h = y_S = \dfrac{e \cdot E \cdot L^2}{2 m \cdot v_0^2}$ ou encore :

$\boxed{ h = \dfrac{|q|}{m} \cdot \dfrac{E \cdot L^2}{2 v_0^2}}$

$\bullet\quad$Application numérique : pour $E = 10~ kV/m$, $L = 10~ cm$, $v_0 = 2.10^7~ m/s$ : $h = 2,4~ cm$ dans le cas de l'électron.

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ Cette formule a un intérêt expérimental car elle permet d'exprimer le rapport $\dfrac{|q|}{m}$ d'une particule chargée en fonction des paramètres $h$, $v_0$, $E$ et $L$ que l'on sait mesurer. Connaissant ce rapport $\dfrac{|q|}{m}$ et la charge $q$, on en déduit alors la masse de la particule (qui est extrêmement faible et donc difficilement accessible).

$\quad\circ\quad$ Une particule positive, comme le proton, serait déviée dans l'autre sens (vers le bas sur la figure), mais la formule de la déviation (encadrée ci-dessus) resterait la même.

4. Accélération d'une particule chargée

$\bullet\quad$Un champ électrique uniforme peut aussi servir à accélérer linéairement un faisceau de particules chargées.

$\bullet\quad$La figure suivante schématise un dispositif pouvant accélérer des charges positives (l'ion potassium $K^+$ par exemple)

$\bullet\quad$Remarque : en inversant le champ on pourrait accélérer des particules négatives.

$\textcolor{purple}{\textbf{a. Principe}}$

$\bullet\quad$On utilise des tubes métalliques qui se font face et entre lesquels on peut établir une forte différence de potentiel.

$\bullet\quad$Les deux faces en regard étant assimilables aux plaques d'un condensateur, on peut ainsi créer entre les tubes un champ électrique uniforme.

$\bullet\quad$On admettra par ailleurs que le champ électrique est nul à l'intérieur des tubes.

$\bullet\quad$Une source produisant les particules est placée à l'intérieur du 1er tube (à gauche sur la figure ci-dessus). Dans l'intervalle séparant les tubes, le champ électrique va alors accélérer les particules sortant de la source (vers la droite sur la figure). Après avoir été accélérées, les particules entrent dans le second tube qu'elles traversent à vitesse constante, comme nous allons le voir.

$\bullet\quad$Le dispositif est placé sous vide pour éviter toute interaction avec l'air ainsi que les phénomènes de claquage à haute tension entre les tubes.

$\textcolor{purple}{\begin{array}{l}\textbf{b. Etude du mouvement de la particule} \\\textbf{entre les tubes}\end{array}}$

$\bullet\quad$Considérons un ion $K^+$ qui, à l'instant $t = 0$, sort de la source en $O$, avec la vitesse horizontale $\overrightarrow{v_0}$ (voir schéma) et qui se déplace dans le champ $\overrightarrow{E}$ (entre $O$ et $A$).

$\bullet\quad$Bilan des forces / Équation du mouvement :

$\boxed{\overrightarrow{a} = \dfrac{q}{m} ~ \overrightarrow{E}}$ (voir §II.1 et II.2)

où $q$ est ici la charge de l'ion $K^+$ et $m$ sa masse,

$\quad\circ\quad$ $q = +e$ avec $e = 1,6 \times 10^{-19}$C (la charge $q$ est positive) ;

$\quad\circ\quad$ $m = 6,5 \times 10^{-26}$ kg.

$\bullet\quad$Équations horaires de la particule :

Dans le repère $(O,\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j})$ :

$\quad\circ\quad$ Exprimons le champ électrique : $\overrightarrow{E} = E ~\overrightarrow{i}$ ou encore $\overrightarrow{E}~ (E~,~0)$

$\quad\circ\quad$ puis l'accélération : $\overrightarrow{a}~ (a_x~,~a_y)$.

On déduit alors de $\boxed{\overrightarrow{a} = \dfrac{q}{m} ~ \overrightarrow{E}}$ les composantes de $\overrightarrow{a}$ :

$\begin{cases} a_x(t) = \dfrac{q \cdot E}{m} \gt 0 \\ a_y(t) = 0 \end{cases}$

En intégrant une première fois par rapport au temps $t$, on obtient la vitesse $\overrightarrow{v}~(v_x~,~ v_y)$ :

$\begin{cases} v_x(t) = \dfrac{q \cdot E \cdot t}{m} + v_0 \\ v_y(t) = 0 \end{cases}$

en tenant compte qu'à $t = 0$, la vitesse initiale est $\overrightarrow{v_0}~ (v_0~,~0)$.

Puis en intégrant une 2^e fois, on obtient les équations horaires de la particule :

$\boxed{M \begin{cases} x(t) = \dfrac{q \cdot E \cdot t^2}{2m} + v_0 \cdot t\\ y(t) = 0 \end{cases}}$

en tenant compte qu'à $t = 0$, la particule est en $O$ (donc $x(0) = 0$ et $y(0) = 0$).

$\bullet\quad$Nature du mouvement (entre les tubes) :

La particule $M(x~,~y)$ se déplace sur l'axe $(O~,~x)$ car $y(t) = 0$ à tout instant $t$ : le mouvement est donc rectiligne.

Nous pouvons donc réécrire les lois horaires de manière très simple :

$\boxed{ M \begin{cases} a(t) = \dfrac{q \cdot E}{m} (\text{constante} \gt 0 \; car \; q \gt 0 ) \\ v(t) = a \cdot t + v_0 \; \gt 0 \; \text{car} \; a \gt 0 \\ x(t) = \dfrac{a \cdot t^2}{2} + v_0 \cdot t \end{cases}}$

$a$ est une constante $\gt 0$ et $v(t) \gt 0$ à tout instant $t \gt 0$, donc le mouvement est uniformément accéléré.

Entre les tubes, la particule est en mouvement rectiligne uniformément accéléré.

$\bullet\quad$Remarque : si la vitesse initiale de la particule n'est pas horizontale, la particule sera déviée par le champ, comme nous l'avons vu plus haut, et ira se perdre quelque part entre les tubes.

$\textcolor{purple}{\begin{array}{l}\textbf{c. Calcul de la vitesse d'entrée } \\\textbf{du deuxième tube (en A)}\end{array}}$

$\bullet\quad$La particule arrive en $A$ à l'instant $t_A$ : elle se trouve alors en $x(t_A) = d$ avec une vitesse $v_A = v(t_A)$.

$\bullet\quad$D'après les lois horaires, nous pouvons écrire :

$\begin{cases} a = \dfrac{q \cdot E}{m} \\ v_A = v(t_A) = a \cdot t_A + v_0 \\ x(t_A) = d = \dfrac{a \cdot t_A^2}{2} + v_o \cdot t_A \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} t_A = \dfrac{v_A - v_0}{a} \\ d = \dfrac{(v_A - v_o)^2}{2a} + \dfrac{v_o \cdot (v_A - v_o)}{a} \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} t_A = \dfrac{v_A - v_0}{a} \\ d = \dfrac{v_A^2 + v_o^2 - 2v_A \cdot v_0 + 2v_A \cdot v_0 - 2v_o^2 }{2a} \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} t_A = \dfrac{v_A - v_0}{a} \\ d = \dfrac{v_A^2 - v_o^2}{2a}\end{cases}$

et finalement :

$v_A^2 -v_0^2 = 2a \cdot d$

$\Rightarrow v_A ^2 = v_0^2 + \dfrac{2q \cdot E \cdot d}{m}$

$\Rightarrow \boxed{ v_A ^2 = v_0^2 + \dfrac{2q \cdot U}{m}}$

où $U$ est la tension entre les armatures (= les tubes), et en utilisant la relation :

$E = \dfrac{U}{d}$

$\bullet\quad$Application numérique : pour $U = 600~ V$ et $v_0 \approx 0$ : $v_A \approx 54~ km/s$ et $a \approx 5.10^9~ m/s^2$ (!) dans le cas d'un ion $K^+$

$\bullet\quad$On remarque que les ions ou particules peuvent subir des accélérations gigantesques (sans dommage), ce qui permet de leur communiquer une très grande énergie (en comparaison, l'être humain supporte seulement quelques dizaines de m/s²).

$\bullet\quad$D'autre part, la vitesse acquise ne dépend pas de l'écartement des tubes mais uniquement de la tension (et des caractéristiques de la particule).

$\textcolor{purple}{\begin{array}{l}\textbf{d. Nature du mouvement dans le tube} \\\textbf{entre A et B }\end{array}}$

$\bullet\quad$Le champ électrique étant nul dans le tube, la particule n'est plus soumise qu'à son poids qui est négligeable : la particule ne subit donc plus aucune force. D'après le principe d'inertie, on en conclut que : la particule est en mouvement rectiligne uniforme à l'intérieur du tube (entre $A$ et $B$).

$\bullet\quad$On en déduit que la vitesse est constante lors de la traversée du tube : $\overrightarrow{v_B} = \overrightarrow{v_A}$.

III. Accélérateur linéaire de particules (LINAC)

$\bullet\quad$L'accélération de particules chargées permet de produire des particules ayant une très grande énergie cinétique.

$\bullet\quad$Les applications sont nombreuses, citons par exemple :

$\quad\circ\quad$ La production de rayons $X$ pour la radiothérapie, l'industrie ou la recherche (en bombardant une cible avec des électrons préalablement accélérés) ;

$\quad\circ\quad$ L'étude des particules en physique (collisionneur de protons par exemple) ;

$\quad\circ\quad$ La production d'isotopes (pour des traitements médicaux notamment).

$\bullet\quad$Des milliers d'accélérateurs de particules sont en service dans le monde entier.

1. Principe de fonctionnement

$\bullet\quad$Nous avons vu comment accélérer des charges grâce à un champ électrique régnant entre des tubes métalliques (voir §II.4). L'idée est alors d'aligner une série de tubes et de créer ainsi plusieurs champs électriques qui vont chacun à leur tour accélérer les charges au cours de leur progression.

$\bullet\quad$C'est le physicien norvégien Wideroe qui, le premier, conçut en 1928 un tel dispositif, appelé accélérateur linéaire ou en abrégé, LINAC pour "LINear ACcelerator" (voir figure ci-dessous).

$\bullet\quad$Même si la technologie a fortement évolué depuis, ce type d'accélérateur a encore des applications dans certains domaines.

Description :

$\bullet\quad$On remarque que le sens du champ électrique est alterné ! Il faut donc inverser le sens du champ pendant que la particule traverse un tube (sinon elle sera accélérée puis freinée et l'effet sera nul). En pratique, on utilise une tension alternative haute fréquence et le champ électrique oscille donc avec une certaine période $T$.

$\bullet\quad$La figure montre l'accélération d'une charge négative et représente l'accélérateur lorsque la valeur du champ est maximale dans un sens, puis dans l'autre (ce qui correspond à $U = + U_m$ et $U = -U_m$).

Ces deux états particuliers sont séparés d'une alternance ($\dfrac{T}{2}$).

$\bullet\quad$Si on cherche à accélérer une charge sortant de la source, il faut que le champ s'inverse entre la sortie du tube $1$ (schéma du haut) et la sortie du tube $2$ (schéma du bas) ce qui détermine en fait la longueur du tube $2$. Ce raisonnement s'applique aussi aux tubes $2$ et $3$ et ainsi de suite : la longueur des tubes doit donc être soigneusement calculée pour que l'appareil fonctionne.

$\bullet\quad$Enfin, la particule étant accélérée, la longueur des tubes doit augmenter au fur et à mesure de la progression de la charge (car celle-ci parcourt de plus en plus de distance durant une alternance).

2. Animation

Cette animation permet de mieux visualiser la situation :

Article sur le fonctionnement d'un accélérateur linéaire

_{= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}