Aspects énergétiques d’un mouvement dans un champ uniforme

I. Aspect énergétiques d'un mouvement dans un champ de pesanteur uniforme (rappels)

1. Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

• Pour réviser les notions fondamentales vues en classe de première, il est possible de consulter cette fiche :

Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

• Voici la liste des points clés à réviser :

  $\circ\quad$ Notion d'énergie ;

  $\circ\quad$ Travail d'une force ;

  $\circ\quad$ Énergie cinétique ;

  $\circ\quad$ Forces conservatives et énergie potentielle ;

  $\circ\quad$ Énergie mécanique.

2. Théorèmes de l'énergie cinétique et mécanique

• Deux théorèmes importants, déjà appris en classe de 1^re, se démontrent à partir des lois de Newton :

  $\circ\quad$ Le théorème de l'énergie cinétique ;

  $\circ\quad$ Le théorème de l'énergie mécanique.

• Plus faciles d'emploi que la 2^e loi de Newton, ces théorèmes permettent une approche énergétique du problème et simplifient souvent l'étude du mouvement, notamment dans le cas de systèmes conservatifs qui ont une énergie mécanique constante.

• Remarque : ces deux théorèmes sont équivalents, il est inutile de les appliquer tous les deux à un même problème car ils donneront alors le même résultat.

3. Cas de la chute libre d'un corps

• L'approche énergétique est très générale, elle s'applique aussi au cas de la chute libre dans un champ de pesanteur.

• On trouvera des exemples d'application dans la fiche Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques.

4. Cas du mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur

• L'approche énergétique s'applique également au Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur :

• Pour mémoire, on étudie la chute libre d'un projectile de masse $m$ lancé avec un vecteur $\overrightarrow{v_{0}}$ quelconque faisant un angle $\theta$ avec le plan horizontal :

  $\circ\quad$Système : projectile de masse $m$ ;

  $\circ\quad$Référentiel : le sol, référentiel terrestre supposé galiléen ;

  $\circ\quad$Bilan des forces extérieures :

  $\Longrightarrow$ Le poids de l'objet : $\overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g}$ ;

  $\Longrightarrow$ La poussé d'Archimède et les frottements de l'air sont négligés.

  $\circ\quad$ Le poids étant une force conservative, l'énergie mécanique d'un système conservatif est constante. D'après le théorème de l'énergie mécanique, on peut donc écrire :

  $\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = 0 \Leftrightarrow \boxed{\Delta E_c = - \Delta E_p}$

  Comme l'énergie mécanique ne dépend que de la masse, de la vitesse et de la position du projectile, elle fournit donc une relation simple entre vitesse et position du point matériel, valable en tout point de la trajectoire :

  $\Longrightarrow$ Lorsque le projectile monte, son énergie cinétique $E_c$ va diminuer, de par son ralentissement. Étant donné que son altitude augmente, son énergie potentielle de pesanteur $E_p$ augmente. De l’énergie cinétique est donc transformée en énergie potentielle de pesanteur jusqu'à ce que le projectile atteigne son zénith.

  $\Longrightarrow$Cette transformation physique se produit ensuite dans l’autre sens, lorsque ce dernier amorce sa descente : son énergie potentielle de pesanteur diminue (puisque son altitude diminue) et son énergie cinétique augmente (puisque sa vitesse augmente jusqu'à ce qu'il touche le sol).

II. Aspect énergétiques d'un mouvement dans un champ électrique uniforme

1. Travail de la force électrique

• La force électrique (force de Coulomb) est une force conservative : le travail de cette force ne dépend donc pas du chemin suivi par la particule mais uniquement du point de départ et du point d'arrivée.

• Travail de la force électrique :

  Le travail de la force électrique $\overrightarrow{F}$ qui s'exerce sur une particule chargée entre les points $A$ et $B$, ne dépend que de la charge $q$ et de la différence de potentiel entre $A$ et $B$, ce qui s'écrit :

  $\boxed{W_{AB} (\overrightarrow{F}) = q \cdot U_{AB}}$

  avec :

  $\circ\quad$ $W_{AB}(\overrightarrow{F})$ : travail de la force électrique fourni entre $A$ et $B$ (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $q$ : charge de la particule ou de l'ion (en $C$) ;

  $\circ\quad$ $U_{AB}$ : différence de potentiel, ou tension, entre $A$ et $B$ (en V).

• Application au condensateur :

  Dans un condensateur plan tous les points d'une même plaque (ou armature) sont au même potentiel électrostatique. Entre un point quelconque de la plaque A et un point quelconque de la plaque B la différence de potentiel est donc $U_{AB}$. Si des particules se déplacent d'une plaque à l'autre, on peut alors exprimer très facilement le travail de la force électrique :

$\circ\quad$ Cas d'une charge positive $P$

$\rightarrow$ Dans le cas où une charge positive $P$ part de l'armature positive $A$ et arrive sur l'armature négative $B$, le travail de la force électrique vaut :

$\boxed{W_{AB} (\overrightarrow{F}) = q \cdot U_{AB}}$ ($q \gt 0$)

$\rightarrow$ Ce travail est positif : la force électrique est donc motrice.

$\rightarrow$ Ce travail ne dépend pas du chemin suivi : il est le même sur une trajectoire rectiligne et sur la trajectoire en $\textcolor{purple}{\text{violet}}$ sur la figure par exemple.

$\circ\quad$ Cas d'une charge négative $N$

$\rightarrow$ Dans le cas où une charge négative $N$ part de l'armature négative $B$ et arrive sur l'armature positive $A$, le travail de la force électrique vaut :

$\boxed{W_{BA} (\overrightarrow{F}) = q \cdot U_{BA} = -q . U_{AB} }$ ($q \lt 0$)

$\rightarrow$ $\textcolor{red}{\text{ATTENTION !}}$

La particule se déplace de $B$ vers $A$, il faut donc écrire $W_{BA}$ et $U_{BA}$ (= $-U_{AB}$).

Ce travail est positif : la force électrique est donc motrice.

Ce travail ne dépend pas du chemin suivi : il est le même sur une trajectoire rectiligne et sur la trajectoire en $\textcolor{orange}{\text{orange}}$ sur la figure par exemple.

• Remarques :

  $\circ\quad$ Si une particule positive entre par la plaque négative $B$, la force électrique la freine, ce qui n'est pas voulu dans un accélérateur.

  $\circ\quad$ Il en serait de même pour une particule négative entrant par la plaque positive $A$.

2. Exemple d'approche énergétique

Pour illustrer l'utilisation du théorème de l'énergie cinétique, reprenons l'étude de l'accélération linéaire d'une charge dans un condensateur plan, effectuée dans la fiche Mouvement dans un champ électrique uniforme :

• Une particule positive part de $O$ avec une vitesse $\overrightarrow{v_0}$ et arrive en A avec une vitesse $\overrightarrow{v_A}$.

• Calcul de la vitesse en fin d'accélération (en $A$) :

  $\circ\quad$ Déjà effectué en appliquant la 2^e loi de Newton, ce calcul est beaucoup plus simple si on applique le théorème de l'énergie cinétique à la particule entre $O$ et $A$.

  $\circ\quad$ La variation d'énergie cinétique de la particule entre $O$ et $A$ est égale au travail des forces exercées sur la particule. Ici, seule la force électrique $\overrightarrow{F}$ travaille et nous savons que :

  $\boxed{W_{OA} (\overrightarrow{F}) = q \cdot U_{OA}}$

  Nous en déduisons la relation :

  $\Delta E_c = E_c(A) - E_c(O) = W_{OA} (\overrightarrow{F})$

  $\Rightarrow \dfrac{m \cdot v_A^2}{2} - \dfrac{m . v_o^2}{2} = q \cdot U_{OA}$

  $\Rightarrow \boxed{ v_A ^2 = v_0^2 + \dfrac{2q \cdot U}{m} }$

• Nous retrouvons, en seulement quelques lignes, l'expression obtenue laborieusement avec la 2^e loi de Newton dans la fiche de cours précédente !

_{= Merci à krinn et gbm pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}