Mouvement dans un champ de gravitation

I. Rappels : notions fondamentales

1. Choix du référentiel d'étude et mouvement circulaire

Pour revoir ces notions, il est recommandé de prendre le temps de réviser la fiche suivante (§I et IV) :

Décrire un mouvement

2. Loi de gravitation universelle

• Loi de gravitation universelle énoncée par Newton :

  Deux objets ponctuels $T$ et $S$, de masses $M_T$ et $m_s$, s'attirent avec des forces opposées dont la valeur est proportionnelle aux masses de $T$ et $S$ et inversement proportionnelles au carré de la distance qui sépare $T$ et $S$ (voir le schéma ci-après) :

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{_{T/S}} = -G \cdot \dfrac{M_T\times m_{s}}{d^2}~\overrightarrow{n}}$

• Pour plus de détails, il est conseillé de réviser la fiche suivante :

La gravitation universelle

II. Mouvement d'un satellite soumis au champ de gravitation terrestre

• Considérons l'étude du mouvement d'un satellite en mouvement autour de la Terre ;

  $\circ\quad$ Système : un satellite de masse $m_s$ et de centre d'inertie S.

  $\circ\quad$ Référentiel : géocentrique, référentiel supposé galiléen.

  $\circ\quad$ Bilan des forces : la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite $\overrightarrow{F_{T/S}}$.

• Schéma de la situation : on représente la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite :

III. Les lois de Kepler

• Considérons désormais l'étude du mouvement d'une planète quelconque autour du Soleil :

  $\circ\quad$ Système : planète quelconque.

  $\circ\quad$ Référentiel : héliocentrique (= référentiel de Kepler).

  $\circ\quad$ Bilan des forces : la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur cette planète.

1^re loi de Kepler (LOI DES TRAJECTOIRES)

• 1^re loi de Kepler (loi des trajectoires) :

  Dans le référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre $S$ du Soleil est l'un des foyers.

2^e loi de Kepler (LOI DES AIRES)

• 2^e loi de Kepler (loi des aires) :

  $\circ\quad$ Pendant une durée $\Delta t$, le rayon qui joint le centre $S$ du Soleil au centre de la planète balaie une aire $\Delta A$ constante quelle que soit la position de la planète sur son orbite.

  $\circ\quad$ $\dfrac{\Delta A}{\Delta t}$ dépend de la planète considérée.

$\boxed{A_1 = A_2 = A_3}$

3^e loi de Kepler (LOI DES PERIODES)

• 3^e loi de Kepler (loi des périodes) :

  Le rapport entre le carré de la période de révolution $T$ et le cube du demi grand axe $a$ est le même :

  $\boxed{\dfrac{T^2}{a^3} = K}$

  avec :

  $\circ\quad$ $T$ : période de révolution de la planète (en $s$) ;

  $\circ\quad$ $a$ : demi-grand axe de l'ellipse (en $m$) ;

  $\circ\quad$ $K$ : constante qui dépend de l'astre autour duquel la planète est en mouvement.

• Démonstration (dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme) :

  On considère une planète de masse $m$ en mouvement circulaire uniforme autour du Soleil de masse $M_S$.

  La distance entre le Soleil et la planète vaut $r$.

  $\circ\quad$ Système : planète de masse $m$ ;

  $\circ\quad$ Référentiel : héliocentrique, référentiel supposé galiléen ;

  $\circ\quad$ Bilan des forces : force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur la planète étudiée, de valeur $\overrightarrow{F_{S/P}}$.

$\circ\quad$ On se place dans un repère de Frenet (repère mobile), on a :

$\overrightarrow{a} = \dfrac{v^2}{r}~\overrightarrow{N} + \dfrac{dv}{dt}~\overrightarrow{T}$

Ici, la vitesse est constante donc $\overrightarrow{a} = \dfrac{v^2}{r}~\overrightarrow{N}$

$\circ\quad$ Appliquons la deuxième loi de Newton :

$\overrightarrow{F}_{_{S/P}} = m \overrightarrow{a}$

Or $\overrightarrow{F}_{_{S/P}} = G\times\dfrac{m\times M_S}{r^2}~\overrightarrow{N}$

et $\overrightarrow{a} = \dfrac{v^2}{r}~\overrightarrow{N}$

On a donc $G\times\dfrac{m \times M_S}{r^2}~\overrightarrow{N} = m\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow~{N}$

Ce qui équivaut à $\boxed{v^2 = \dfrac{G \times M_S}{r}} ~~\textcolor{purple}{\text{(1)}}$

$\circ\quad$ Exprimons désormais sa période de révolution $T$ en fonction de $v$ et $r$.

Par définition de la vitesse $v = \dfrac{d}{t}$, on trouve $v = \dfrac{2 \pi . r}{T}$ (en effet, $d$ = périmètre du cercle de rayon $r$)

En élevant au carré, on obtient $\boxed{v^2 = \dfrac{4\pi^2 . r^2}{T^2}} ~~\textcolor{purple}{\text{(2)}}$

En égalisant les deux relations $\textcolor{purple}{\text{(1)}}$ et $\textcolor{purple}{\text{(2)}}$ que l'on vient de trouver :

$\dfrac{4\pi^2 . r^2}{T^2} = \dfrac{G\times M_S}{r}$

En simplifiant, on trouve :

$\boxed{\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G \times M_S}}$

• Remarque : les lois de Kepler sont aussi applicables aux mouvements des satellites de la Terre étudiés dans le référentiel géocentrique.

_{= Merci à gbm et Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}