Mouvement d'un système (STI2D)

Après quelques rappels de cinématique, cette fiche précise le lien entre le mouvement d'un système et les actions mécaniques qu'il subit.

I. Rappels des notions abordées en seconde

• La notion de cinématique étudiée en classe de seconde est supposée connue.

• En cas de besoin, on pourra réviser les fiches suivantes :

  $\circ\quad$ Relativité du mouvement ;

  $\circ\quad$ Représentation et variation d'un vecteur vitesse.

• Remarque importante : dans la présente fiche, les systèmes physiques sont assimilés à des points matériels.

1. Centre d'inertie (ou centre de masse)

• Définition :

  Le centre d'inertie d'un système est le point qui a la trajectoire la plus simple au cours du mouvement. Il est appelé aussi centre de masse.

• Remarque : si on ne s'intéresse qu'au mouvement général d'un système, on peut se limiter à l'étude de la trajectoire de son centre d'inertie.

2. Position d'un mobile

• Sur la figure suivante est représenté le mouvement d'un mobile par une suite de points :

• Pour repérer le mobile dans l'espace, on utilise le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

• Le point $M_1$ est la position de $M$ à l'instant $t_1$ ; elle peut s'exprimer de deux façons différentes (mais équivalentes) dans $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ :

  $\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{1)}}$ par les coordonnées du point que l'on note : $M_1 (5~ ;~ 7)$ ou encore $M_1 \begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$ ;

  $\circ\quad$ $\textcolor{purple}{\text{2)}}$ par le vecteur position $\overrightarrow{OM_{1}} = 5 \overrightarrow{i} + 7 \overrightarrow{j}$ qui s'écrit aussi : $\overrightarrow{OM_{1}}(5~ ;~7)$ ou encore $\overrightarrow{OM_{1}} \begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$.

3. Vecteur vitesse

• Définition :

  Le vecteur vitesse, noté $\overrightarrow{v}$, est une grandeur orientée permettant de connaître la direction, le sens et la valeur de la vitesse d'un point $M$ à un instant $t$ donné.

  Il est caractérisé par :

  $\circ\quad$ Son point d'application : le point $M$ où se trouve le système à l'instant $t$ ;

  $\circ\quad$ Sa direction : la tangente à la trajectoire en $M$ ;

  $\circ\quad$ Son sens : celui du mouvement ;

  $\circ\quad$ Sa norme : la valeur de la vitesse.

• Dans le système international, l'unité de la vitesse est le $\text{m/s}$.

• Il existe d'autres unités de vitesse comme le $\text{km/h}$ par exemple. Il faut alors procéder à des conversions d'unité.

4. Détermination graphique d'une vitesse

• La vitesse d'un point mobile à un instant $t$ peut être assimilée à sa vitesse moyenne sur un intervalle très court encadrant l'instant $t$.

• Considérons par exemple le mouvement d'une balle, représentée par le point $M$ sur l'enregistrement suivant :

• Pour évaluer le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_{1}}$ du mobile en $M_1$ on peut écrire :

  $\boxed{ \overrightarrow{v_{1}} = \dfrac{\overrightarrow{M_{1}M_{2}}}{\delta t}}$

• On en déduit ses caractéristiques :

  $\circ\quad$ Point d'application : $M_1$ ;

  $\circ\quad$ Direction : la droite $M_1M_2$ ;

  $\circ\quad$ Sens : de $M_1$ vers $M_2$ (sens du mouvement) ;

  $\circ\quad$ Norme : $v_{1} = \dfrac{M_{1}M_{2}}{\delta t}$

• Si on mesure $M_{1}M_{2} = 5 \: cm$ sur le schéma alors, en tenant compte des diverses échelles, on trouve :

  $v_{1} = \dfrac{0,05 \times 2 }{0,1} = 1 \: m/s$

  (soit 3 cm sur la figure)

• Remarque : certains énoncés définissent une autre formule approchée pour évaluer la vitesse en un point $M_i$ :

  $\boxed{ \overrightarrow{v_{i}} = \dfrac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\delta t}}$

  Il faut alors adapter le raisonnement : ainsi en $M_2$ (donc pour $i = 2$) on obtient la relation :

  $\boxed{ \overrightarrow{v_{2}} = \dfrac{\overrightarrow{M_{1}M_{3}}}{2\delta t}}$

  $\circ\quad$ La direction est alors : la droite $M_1M_3$ ;

  $\circ\quad$ Et la norme est : $v_{2} = \dfrac{M_{1}M_{3}}{2 \delta t}$.

5. Référentiel

$\textcolor{purple}{\text{a. Définition}}$

$\bullet\quad$On appelle référentiel :

$\quad\circ\quad$ Un solide de référence par rapport auquel on décrit le mouvement ;

$\quad\circ\quad$ Ou encore un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres.

$\bullet\quad$Pour définir un référentiel, il faut se donner au minimum quatre points (non coplanaires), l'un servant d'origine et les trois autres définissant trois axes fixes issus de cette origine.

$\bullet\quad$D'autre part, on suppose qu'un référentiel peut être muni d'horloges, c'est-à-dire de dispositifs servant à mesurer les durées et dater les événements (un chronomètre par exemple).

$\textcolor{purple}{\text{b. Exemples de référentiels}}$

$\bullet\quad$L'ensemble des objets fixes par rapport à la Terre constitue le référentiel terrestre (exemple : la salle de classe) ;

$\bullet\quad$Référentiel géocentrique : solide imaginaire formé par le centre de la Terre et le centre de 3 étoiles lointaines considérées comme fixes (les 4 points doivent être non coplanaires) ;

$\bullet\quad$Référentiel héliocentrique : solide imaginaire formé par le centre du Soleil et le centre de 3 étoiles lointaines considérées comme fixes (les 4 points doivent être non coplanaires).

$\textcolor{purple}{\text{c.Utilisation des référentiels}}$

$\bullet\quad$On choisit le référentiel de manière à ce que le mouvement soit le plus simple possible. Au lycée, on utilise généralement :

$\quad\circ\quad$ Le référentiel terrestre lorsque les mouvements ont lieu à proximité de la surface du globe, par exemple le mouvement de voitures, d'avions, etc. ;

$\quad\circ\quad$ Le référentiel géocentrique pour étudier les mouvements de satellites autour de la Terre ;

$\quad\circ\quad$ Le référentiel héliocentrique pour étudier les mouvements à l'intérieur du système solaire (mouvement des planètes ou d'une sonde spatiale).

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ Parler de mouvement sans préciser le référentiel n'a aucun sens en physique !

$\circ\quad$ Certains énoncés peuvent définir et utiliser un référentiel différent de ceux mentionnés ci-dessus (par exemple le référentiel lié à un train).

II. Cinématique du point

Dans toute la suite, le système étudié est assimilé à un point matériel, appelé le mobile. Ce point est en général le centre de gravité $G$ du système, ou encore son centre de masse (ou d'inertie), supposé confondu avec $G$ dans les situations traitées au lycée.

On suppose d'autre part que le système a un mouvement non relativiste c'est-à-dire que sa vitesse reste très inférieure à $c \approx 300~000~ km/s$ (vitesse de la lumière dans le vide), ce qui est le cas de tous les systèmes étudiés au lycée.

1. Repérage d'un mobile / vecteur position

Après avoir défini le système et choisi le référentiel, il faut repérer le mobile dans l'espace et dans le temps.

$\textcolor{purple}{\text{a. Repérage dans le temps}}$

$\bullet\quad$On suppose que le temps est absolu, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas du référentiel. Le temps est représenté par une variable réelle, notée $t$, et on procède comme suit :

$\quad\circ\quad$ On choisit un instant précis comme origine des dates, c'est-à-dire que sa date vaut : $t = 0$. Exemple : l'origine des dates (ou des temps) peut être le moment où une voiture démarre.

$\quad\circ\quad$ On choisit une durée étalon. L'unité S.I. de durée est la seconde.

$\quad\circ\quad$ Un instant (ou un événement) quelconque est repéré par sa date $t$. Exemple : la moto croise la voiture à l'instant $t = 5$ s.

$\quad\circ\quad$ La durée entre deux instants $t_1$ et $t_2$ ($t_2 > t_1$) est par définition : $\Delta t = t_{2} - t_{1}$ : elle s'exprime dans la même unité que $t_1$ et $t_2$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Repérage dans l'espace}}$

$\bullet\quad$L'espace physique étant assimilé à un espace euclidien de dimension 3, on procède comme suit :

$\quad\circ\quad$ On associe un repère au référentiel choisi ;

$\quad\circ\quad$ A tout instant $t$, les coordonnées du point $G$ dans ce repère déterminent la position du mobile.

$\bullet\quad$En pratique, on attache souvent un repère cartésien orthonormé $(O,\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}~,~\overrightarrow{k})$ au référentiel d'étude. À tout instant $t$, le point $G$ est alors repéré :

$\quad\circ\quad$ Par le vecteur position $\overrightarrow{OG}$, noté $\overrightarrow{OG}~(x(t)~,~y(t)~,~z(t))$ ou encore $\overrightarrow{OG} = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}+ z(t)\overrightarrow{k}$ ;

$\quad\circ\quad$ Ou par les coordonnées du point $G( x(t), y(t), z(t))$, comme indiqué sur la figure suivante :

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ Le mouvement dépend du référentiel, mais pas du repère utilisé (repère cartésien, repère de Frenet ou autre).

$\quad\circ\quad$ En cinématique, les coordonnées d'un point sont en général des fonctions du temps $t$, par exemple $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$, alors que ce sont des constantes en mathématiques. La variable est le temps $t$ tandis que $x$ est une fonction de $t$. Toutefois on note souvent $x$ au lieu de $x(t)$ pour alléger l'écriture.

$\quad\circ\quad$ La date d'un événement est une valeur algébrique (elle peut être négative). Une date négative indique seulement que l'événement s'est passé AVANT l'instant $t = 0$ (origine des dates).

$\quad\circ\quad$ De même les coordonnées d'un point sont des valeurs algébriques, ainsi que les composantes des vecteurs vitesse et accélération que nous allons aborder.

$\quad\circ\quad$ L'espace étant supposé euclidien, tous les théorèmes et résultats vus en cours de mathématiques s'appliquent : théorème de Pythagore, calcul de la distance entre 2 points, etc.

$\quad\circ\quad$ Les notations peuvent varier d'un énoncé à l'autre : le point $G$ devient alors $M$, le repère devient $(O~,~\overrightarrow u_x~,~\overrightarrow u_y~,~ \overrightarrow u_z)$, etc. Il faudra alors transposer les relations en conséquence.

$\textcolor{purple}{\text{c. Cas des mouvements plan ou rectilignes}}$

$\bullet\quad$Dans le cas d'un mouvement plan, on peut repérer un point avec deux coordonnées (notées souvent $x$ et $y$) et le repère cartésien se réduit par exemple à $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, ce qui simplifie l'étude.

$\bullet\quad$Dans le cas d'un mouvement rectiligne, on peut repérer un point avec une seule coordonnée (notée souvent $x$ ou $z$) et le repère cartésien se réduit à $(O, \overrightarrow{i})$ par exemple (voir figures ci-après).

2. Vecteur vitesse instantanée $\overrightarrow{v}(t)$

$\bullet\quad$Définition :

La vitesse du point mobile $G$ caractérise la variation du vecteur position $\overrightarrow{OG}$ au cours du temps.

$\textcolor{purple}{\text{a. Détermination expérimentale}}$

$\bullet\quad$Le vecteur vitesse en $G_2$, à la date $t_2$, a pour valeur approchée la vitesse moyenne calculée entre $G_1$ et $G_3$ :

$\boxed{\overrightarrow{v}(t_{2}) \approx \dfrac{\overrightarrow{G_{1}G_{3}}}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\overrightarrow{OG}_{3} - \overrightarrow{OG_{1}}}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\Delta \overrightarrow{OG}}{\Delta t}}$

$\bullet\quad$Cette valeur approchée du vecteur $\overrightarrow{v}(t_{2})$ a :

$\quad\circ\quad$ Pour origine $G_2$ ;

$\quad\circ\quad$ Pour direction et sens $\overrightarrow{G_{1}G_{3}}$ ;

$\quad\circ\quad$ Pour valeur $\dfrac{G_{1}G_{3}}{(t_{3}-t_{1})}$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Détermination par le calcul}}$

$\bullet\quad$La vitesse moyenne entre $G_1$ et $G_3$ ne permet pas de préciser le mouvement exact du mobile entre $G_1$ et $G_3$. L'idée est donc de calculer la vitesse moyenne entre deux points $G_1$ et $G_3$ infiniment proches de $G_2$ de manière à obtenir une valeur qui ne dépend plus du choix de $G_1$ et de $G_3$.

$\bullet\quad$Calcul :

$\quad\circ\quad$ Si $t_3 \longrightarrow t_1$, $\Delta t \longrightarrow 0$ alors $G_3 \longrightarrow G_1$ et donc $\Delta \overrightarrow{OG} \longrightarrow \vec{0}$.

$\quad\circ\quad$ $\dfrac{\Delta \overrightarrow{OG}}{\Delta t}$ tend vers une valeur limite qui est la dérivée par rapport au temps $t$ du vecteur position $\overrightarrow{OG}$, et notée $\dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}$.

$\quad\circ\quad$ On pose alors : $\overrightarrow{v}(t_{2}) = \left( \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt} \right)_{en\; t_{2}}$.

$\textcolor{purple}{\text{c. Généralisation}}$

$\bullet\quad$Vitesse instantanée :

Le vecteur vitesse instantanée est défini comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

$\boxed{\overrightarrow{v_G} = \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}}$

$\bullet\quad$Le vecteur vitesse $\vec{v_G}$ a :

$\quad\circ\quad$ Pour origine la position de $G$ à la date $t$ ;

$\quad\circ\quad$ Pour direction la tangente en $G$ à la trajectoire ;

$\quad\circ\quad$ Pour sens celui du mouvement ;

$\quad\circ\quad$ Pour composantes, dans un repère cartésien :

$\left\lbrace\begin{matrix} v_{x} = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} \\[6pt] v_{y} = \dot{y} = \dfrac{dy}{dt} \\[6pt] v_{z} = \dot{z} = \dfrac{dz}{dt} \end{matrix} \right.$

$\quad\circ\quad$ Pour valeur :

$v = ||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{v^2_{x}+v^2_{y}+v^2_{z}}$

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ Lorsqu'il n'y a aucune ambiguïté, $\overrightarrow{v_G}$ est simplement noté $\overrightarrow{v}$.

$\quad\circ\quad$ $\dot{x}$ (prononcer "x point") et $\dfrac{dx}{dt}$ sont deux notations de la même chose : la dérivée de $x(t)$ par rapport à $t$, notée $x'(t)$ en mathématiques.

$\quad\circ\quad$ Dans le cas d'un mouvement plan, on peut choisir un repère cartésien de telle manière que ces expressions se simplifient (voir figure) : $\vec{v_G} = v_{x} \overrightarrow{i} + v_{y} \overrightarrow{j}$ et $v = \sqrt{v^2_{x}+v^2_{y}}$.

$\quad\circ\quad$ De même pour un mouvement rectiligne : on peut choisir un repère cartésien de telle manière que : $\overrightarrow{v_G} = v_{x} \overrightarrow{i}$ et $v = \sqrt{v^2_{x}} = |v_{x}|$.

$\bullet\quad$ $\textcolor{red}{\text{ATTENTION !}}$

Il ne faut pas confondre le vecteur vitesse $\vec{v}$ (avec une flèche !) et sa valeur $v = ||\overrightarrow{v}||$ (qui est un nombre positif).

3. Vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}(t)$

$\bullet\quad$Définition :

L'accélération du point mobile $G$ caractérise la variation du vecteur vitesse de $G$ au cours du temps.

$\textcolor{purple}{\text{a. Détermination expérimentale (rappels de 1}^{\text{re}})}$

$\bullet\quad$Le vecteur accélération en $G_2$, à la date $t_2$, a pour valeur approchée l'accélération moyenne calculée entre $G_1$ et $G_3$ :

$\boxed{\vec{a}(t_{2}) \approx \dfrac{\overrightarrow{v}(t_{3}) - \overrightarrow{v}(t_{1})}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}}$

$\bullet\quad$Cette valeur approchée du vecteur $\vec{a}(t_{2})$ a :

$\quad\circ\quad$ Pour origine $G_2$ ;

$\quad\circ\quad$ Même direction et sens que le vecteur variation de vitesse : $\Delta \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}(t_3) - \overrightarrow{v}(t_1)$ ;

$\quad\circ\quad$ Et pour valeur $\dfrac{\text{ } ||\Delta \overrightarrow{v} || }{(t_{3}-t_{1})}$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Détermination par le calcul}}$

$\bullet\quad$L'accélération moyenne entre $G_1$ et $G_3$ ne permet pas de déterminer le mouvement exact du mobile entre $G_1$ et $G_3$. L'idée est donc de calculer l'accélération moyenne entre deux points $G_1$ et $G_3$ infiniment proches de $G_2$ de manière à obtenir une valeur qui ne dépend plus du choix de $G_1$ et de $G_3$.

$\bullet\quad$Calcul :

$\quad\circ\quad$ Si $t_3 \longrightarrow t_1$, $\Delta t \longrightarrow 0$ alors $\overrightarrow{v}(t_{3}) \longrightarrow \overrightarrow{v}(t_{1})$ et donc $\Delta \overrightarrow{v} \longrightarrow \overrightarrow{0}$.

$\quad\circ\quad$ $\dfrac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$ tend vers une valeur limite qui est la dérivée par rapport au temps $t$ du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$, notée $\dfrac{d \overrightarrow{v}}{dt}$.

$\quad\circ\quad$ On pose alors : $\overrightarrow{a}(t_{2}) = \left(\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}\right)_{en\;t_{2}}$.

$\textcolor{purple}{\text{c. Généralisation}}$

$\bullet\quad$Accélération instantanée :

Le vecteur accélération instantanée est défini comme la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

$\boxed{\overrightarrow{a_G} = \dfrac{d \overrightarrow{v_G}}{dt}}$

$\bullet\quad$Le vecteur accélération $\overrightarrow{a_G}$ a :

$\quad\circ\quad$ Pour origine la position de $G$ à la date $t$ ;

$\quad\circ\quad$ Pour composantes, dans un repère cartésien :

$\left\lbrace\begin{matrix} a_{x} = \dfrac{d v_x}{dt } = \ddot{x} = \dfrac{d^2x}{dt^2 } \\[6pt] a_{y} = \dfrac{d v_y}{dt } = \ddot{y} = \dfrac{d^2y}{dt^2} \\[6pt] a_{z} = \dfrac{d v_z}{dt } = \ddot{z} = \dfrac{dz^2}{dt^2} \end{matrix} \right.$

$\quad\circ\quad$ Pour valeur :

$a = || \overrightarrow{a_G} || = \sqrt{a^2_{x}+a^2_{y}+a^2_{z}}$

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ La direction et le sens du vecteur accélération ne sont pas aussi simples à déterminer que dans le cas de la vitesse, sauf dans certains cas simples que nous allons voir.

$\quad\circ\quad$ $a_{x} = \dfrac{d v_x}{dt }$ donc $a_{x}$ est la dérivée de $v_x(t)$ par rapport au temps, et comme $v_x(t) = \dfrac{dx}{dt}$ on peut aussi écrire : $a_{x} = \dfrac{d^2x}{dt^2 }$ c'est-à-dire la dérivée seconde de $x(t)$, notée $x''(t)$ en mathématiques.

$\bullet\quad$$\textcolor{red}{\text{ATTENTION !}}$

$\boxed{\overrightarrow{a} = \dfrac{d \overrightarrow{v}}{dt} }$ (relation entre vecteurs) mais en module, $a \ne \dfrac{dv}{dt}$ (sauf cas particulier).

III. Récapitulatif des grandeurs cinématiques

En synthèse, la figure suivante regroupe l'ensemble des grandeurs cinématiques qui caractérisent le mouvement d'un mobile $G$ à tout instant $t$ (dans le cas d'un mouvement plan) :

IV. Retour sur le principe d'inertie

1. Rappels de seconde

• En cas de besoin, on pourra réviser les fiches suivantes :

  $\circ\quad$ Modélisation d'une action par une force ;

  $\circ\quad$ Principe d'inertie.

2. Nouvelles forces à connaître en première

$\textcolor{purple}{\text{a. Force élastique (ou force de rappel)}}$

• Définition : la force de rappel exercée par un ressort est proportionnelle à son allongement.

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{A/B} = -k \cdot x ~ \overrightarrow{i}}$

  avec

  $\circ\quad$ $k$ la raideur du ressort ;

  $\circ\quad$ $x$ son allongement.

• Démonstration : prenons la force exercée par le point $A$ sur le point $B$ :

  

  $\boxed{\overrightarrow{F}_{A/B} = -k \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{A_iB_i})}$

  On place un signe - devant le $k$ car l'allongement $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{A_iB_i}$ est de sens opposé à $\overrightarrow{F}_{A/B}$.

  $\overrightarrow{F}_{A/B} = -k \cdot (\overrightarrow{AB_i} + \overrightarrow{B_iB} - \overrightarrow{A_iA} + \overrightarrow{AB_i})$

  $\Leftrightarrow \overrightarrow{F}_{A/B} = -k \cdot (\overrightarrow{B_iB} - \overrightarrow{A_iA})$

  Si $A = A_i$, alors $\boxed{\overrightarrow{F}_{A/B} = -k \cdot \overrightarrow{B_iB}}$

  

  Sur le schéma, le vecteur $\overrightarrow{i}$ est un vecteur unitaire. $x$ représente l'allongement du ressort.

  On a donc $\boxed{\overrightarrow{F}_{A/B} = -k x \overrightarrow{i}}$

$\textcolor{purple}{\text{b. Poussée d'Archimède (STL uniquement)}}$

• Définition :

  Un solide immergé dans un fluide subit de la part de celui-ci une force verticale qui correspond au poids du fluide déplacé :

$\boxed{\overrightarrow{\Pi} = -m' ~ \overrightarrow{g}}$

• Remarque : l'expression vectorielle est tout le temps la même car $\overrightarrow{\Pi}$ et $\overrightarrow{g}$ sont tout le temps opposés. En revanche, l'expression algébrique dépend du choix du sens de l'axe.

• Pour la poussée d'Archimède, on utilise la plupart du temps la masse volumique $\mu$ du fluide à la place de la masse :

  $\boxed{\overrightarrow{\Pi} = - \mu \cdot V ~ \overrightarrow{g}}$

  avec

  $\circ\quad$ $\Pi$ s'exprime en $N$ ;

  $\circ\quad$ $\mu$ la masse volumique du fluide en $kg.m^{-3}$ ;

  $\circ\quad$ $V$ le volume de fluide déplacé en $m^3$ et $\overrightarrow{g}$ en $N.kg^{-1}$.

$\textcolor{purple}{\text{c. Force de frottement fluide}}$

• L'expression de la force de frottement dépend :

  $\circ\quad$ De la vitesse du solide ;

  $\circ\quad$ De la nature du fluide ;

  $\circ\quad$ De la forme et de la dimension du solide ;

  $\circ\quad$ De l'état de la surface du solide.

• Pour des vitesses très faibles, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - k \cdot \overrightarrow{v}}$

  où $k$ est le coefficient de frottement.

• Remarque : $\overrightarrow{f}$ et $\overrightarrow{v}$ sont de sens contraires.

• Lorsque les vitesses sont élevées, la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - k' \cdot v \cdot \overrightarrow{v}}$

  où $k'$ est le coefficient de frottement.

• Remarque : il existe des cas particuliers comme celui de la sphère lisse. Dans ce cas précis, on utilise la relation de Stokes :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - 6 ~\pi \cdot R \cdot \eta \cdot \overrightarrow{v}}$

  avec

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{f}$ en $N$ ;

  $\circ\quad$ $R$ le rayon en $m$ ;

  $\circ\quad$ $\eta$ le coefficient de viscosité en $N.s.m^{-2}$ ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{v}$ en $m.s^{-1}$.

3. Résultante des forces appliquées à un solide

• Dans ce paragraphe, les termes trajectoire et vitesse désignent la trajectoire ou la vitesse du centre de masse (ou centre d'inertie) du système.

• Contrairement à ce que nous dicte l'intuition, les forces ne déterminent pas directement la vitesse, mais la variation de vitesse. Une force résultante nulle implique soit l'immobilité, soit un mouvement rectiligne uniforme : dans ce dernier cas, le vecteur vitesse ne varie pas ($\Delta \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$), mais il n'est pas nul ($\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}$).

• On admet qu'en tout point de la trajectoire, le vecteur variation de vitesse est toujours colinéaire à la résultante des forces et de même sens.

• Principe d'inertie (et sa réciproque) : si le vecteur vitesse est constant, sa variation est nulle et donc la résultante des forces aussi ; et réciproquement. On retrouve donc l'équivalence suivante :

  $\boxed{\displaystyle \sum_{i} \overrightarrow{F_i} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \Delta\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}}$

• Enfin, la masse $m$ intervenant dans la relation caractérise en fait l'inertie du système. Plus $m$ est grand, plus l'effet d'une force donnée (c'est-à-dire la variation de vitesse) sera petit. Il est en effet plus difficile de pousser un camion qu'une voiture !

_{= Merci à krinn et gbm pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}