Prérequis :
Le but de ce chapitre est de synthétiser les connaissances requises sur les mesures physiques et les unités de mesure. Ce cours est en lien avec le chapitre de mathématiques suivant :
Échantillonnage, intervalle de fluctuation et intervalle de confiance
Enjeu :
À l'issue de ce chapitre, il sera primordial :
$\quad\circ\quad$ Distinguer les notions de grandeur, valeur et unité ;
$\quad\circ\quad$ De citer les sept unités de base du système international ;
$\quad\circ\quad$ D'identifier les principales sources d'erreurs lors d'une mesure ;
$\quad\circ\quad$ Et d'exprimer un résultat de mesure avec le nombre de chiffres significatifs adaptés et l'incertitude-type correspondante.

I. Grandeurs et unités

Une grandeur physique est une propriété mesurable d'un phénomène, d'un corps ou d'une substance.
La valeur d'une grandeur est le résultat de la mesure de cette grandeur.
L'unité de mesure est une référence conventionnelle permettant de quantifier la grandeur.
Le Système International d'unités (SISI) définit sept unités de base :
$\quad\circ\quad$ Le mètre ( $m$ ) pour la longueur ;
$\quad\circ\quad$ Le kilogramme ( $kg$ ) pour la masse ;
$\quad\circ\quad$ La seconde ( $s$ ) pour le temps ;
$\quad\circ\quad$ L'ampère ( $A$ ) pour l'intensité du courant électrique ;
$\quad\circ\quad$ Le kelvin ( $K$ ) pour la température ;
$\quad\circ\quad$ La mole ( $mol$ ) pour la quantité de matière ;
$\quad\circ\quad$ La candela ( $cd$ ) pour l'intensité lumineuse.
Synthèse :
Remarque : bien que ces notions ne soient pas demandées explicitement dans le programme, celles-ci sont malgré tout fournies à titre informel (pour les TP notamment) :
$\quad\circ\quad$ La grandeur que l'on veut mesurer est appelée le mesurande ;
$\quad\circ\quad$ Le mesurage est le processus consistant à obtenir expérimentalement une ou plusieurs valeurs, que l'on peut attribuer à une grandeur ;
$\quad\circ\quad$ La valeur vraie du mesurande est une valeur théorique que l'on obtiendrait si le mesurage était parfait.

II. Sources d'erreurs

Lors de la mesure d'une grandeur physique, l'erreur de mesure est la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie.
Lors de la mesure d'une grandeur physique, l'erreur de mesure est la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie. Dans des mesurages répétés, on distingue deux composantes de l'erreur de mesure :
$\quad\circ\quad$ L' erreur systématique qui est constante ou varie de manière prévisible ;
$\quad\circ\quad$ L'erreur aléatoire qui varie de façon imprévisible.

Plusieurs sources d'erreurs peuvent influencer les mesures dans une expérience :
$\quad\circ\quad$ Erreurs systémiques : $\epsilon _{\text{syst}}$ ;
$\quad\quad\quad$ Exemple : erreur de calibration de l'instrument ;
$\quad\circ\quad$ Erreurs aléatoires : $\epsilon_{\text{aléa}}$ ;
$\quad\quad\quad$ Exemple : variations imprévisibles des conditions de mesure ;
$\quad\circ\quad$ Erreurs de parallaxe : $\epsilon_{\text{para}}$ ;
$\quad\quad\quad$ Exemple : mauvais alignement de l'observateur avec l'instrument ;
$\quad\circ\quad$ Erreurs environnementales : $\epsilon_{\text{env}}$ ;
$\quad\quad\quad$ Exemple : température, humidité.

III. Variabilité de la mesure d'une grandeur physique

La variabilité des mesures peut être représentée par des séries de mesures indépendantes.
$\quad\circ\quad$ La moyenne $\bar{x}$ d'une série de $n$ mesures est donnée par :
$\boxed{\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i}$
$\quad\circ\quad$ L'écart-type $s$ est calculé par :
$\boxed{s ~ \text{ou} ~ \sigma = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}}$

Un histogramme permet de visualiser la distribution des valeurs mesurées :
Histogramme
Remarque : ces notions ont été introduites en classe de seconde :
Indicateurs de dispersion : écart interquartile et écart type

IV. Justesse et fidélité

La justesse d'une mesure $\bar{x}$ est sa proximité avec la valeur de référence (ou valeur vraie) $x_{\text{réf}}$ .
La fidélité d'une mesure est la capacité à obtenir des résultats proches les uns des autres lors de mesures répétées.
L'erreur de justesse est donnée par : $\boxed{\epsilon _{\text{justesse}} = \bar{x} - x_{\text{réf}}}$
L'écart-type $s$ ( $\text{ou} ~ \sigma$ ) est une mesure de la fidélité.

V. Dispersion des mesures et incertitude-type

La dispersion des mesures est évaluée par une approche statistique.
L'incertitude-type, noté $u$ , est une estimation de l'écart-type de la distribution des valeurs mesurées $M$ :
$\boxed{u(M) = s}$
L'incertitude-type rend compte de l'étendue des valeurs que l'on peut raisonnablement attribuer à une grandeur physique.
L'incertitude-type est notée $u$ et s'exprime dans la même unité que la grandeur mesurée.

VI. Écriture d'un résultat

Un résultat de mesure doit être exprimé avec le nombre de chiffres significatifs adaptés (abordés en classe de seconde) :

Les chiffres significatifs

L'incertitude-type doit être indiquée avec le résultat de mesure :
$M = \bar{x} \pm u(M) \, \text{unité}$
Exemple : la longueur mesurée vaut $L=(10,05 \pm 0,05) \, \text{cm}$ .
Important : le résultat doit toujours être exprimé avec une unité correspondante.

L'incertitude élargie $U$ est souvent utilisée pour exprimer un intervalle de confiance :
$\boxed{U = k \cdot u}$
où $k$ est le facteur d'élargissement (souvent $k = 2$ pour un niveau de confiance d'environ $95\%$ ).

VII. Valeur de référence

La valeur de référence est la valeur maximale raisonnable entre le résultat d'une mesure et une valeur de référence.
La valeur de référence peut être issue de l'exploitation d'un modèle physique ou d'une valeur connue.
Ainsi, discuter de la validité d'un résultat consiste à comparer la différence entre le résultat d'une mesure et la valeur de référence, et d'autre part avec l'incertitude-type.
L'écart réduit $E_n$ est donné par :
$\boxed{E_n = \dfrac{|\bar{x} - x_{\text{réf}}|}{u}}$
Si $E_n < 1$ , le résultat est considéré comme valide.
Exemple d'application :
Si la valeur de référence pour une longueur est de $10,00~cm$ et que la mesure donne $L = (10,05 \pm 0,05) \, \text{cm}$ , on peut discuter de la validité de la mesure en comparant l'écart avec l'incertitude-type.
On calcule l'écart réduit :
$E_n = \dfrac{|10,05 - 10,00|}{0,05} = 1$
Ici, $E_n = 1$ , ce qui signifie que le résultat est à la limite de la validité.

VIII. Pour aller plus loin

Les ressources suivantes sont disponibles sur le site d'Eduscol :

Mesure et incertitudes au lycée

I. Grandeurs et unités

Une grandeur physique est une propriété mesurable d'un phénomène, d'un corps ou d'une substance.

La valeur d'une grandeur est le résultat de la mesure de cette grandeur.

L'unité de mesure est une référence conventionnelle permettant de quantifier la grandeur.

Le Système International d'unités (SISI) définit sept unités de base :

$\quad\circ\quad$ Le mètre ( $m$ ) pour la longueur ;

$\quad\circ\quad$ Le kilogramme ( $kg$ ) pour la masse ;

$\quad\circ\quad$ La seconde ( $s$ ) pour le temps ;

$\quad\circ\quad$ L'ampère ( $A$ ) pour l'intensité du courant électrique ;

$\quad\circ\quad$ Le kelvin ( $K$ ) pour la température ;

$\quad\circ\quad$ La mole ( $mol$ ) pour la quantité de matière ;

$\quad\circ\quad$ La candela ( $cd$ ) pour l'intensité lumineuse.

Synthèse :

picture-in-text

Remarque : bien que ces notions ne soient pas demandées explicitement dans le programme, celles-ci sont malgré tout fournies à titre informel (pour les TP notamment) :

$\quad\circ\quad$ La grandeur que l'on veut mesurer est appelée le mesurande ;

$\quad\circ\quad$ Le mesurage est le processus consistant à obtenir expérimentalement une ou plusieurs valeurs, que l'on peut attribuer à une grandeur ;

$\quad\circ\quad$ La valeur vraie du mesurande est une valeur théorique que l'on obtiendrait si le mesurage était parfait.

II. Sources d'erreurs

Lors de la mesure d'une grandeur physique, l'erreur de mesure est la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie.

Lors de la mesure d'une grandeur physique, l'erreur de mesure est la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie. Dans des mesurages répétés, on distingue deux composantes de l'erreur de mesure :
$\quad\circ\quad$ L' erreur systématique qui est constante ou varie de manière prévisible ;
$\quad\circ\quad$ L'erreur aléatoire qui varie de façon imprévisible.

Plusieurs sources d'erreurs peuvent influencer les mesures dans une expérience :

$\quad\circ\quad$ Erreurs systémiques : $\epsilon _{\text{syst}}$ ;

$\quad\quad\quad$ Exemple : erreur de calibration de l'instrument ;

$\quad\circ\quad$ Erreurs aléatoires : $\epsilon_{\text{aléa}}$ ;

$\quad\quad\quad$ Exemple : variations imprévisibles des conditions de mesure ;

$\quad\circ\quad$ Erreurs de parallaxe : $\epsilon_{\text{para}}$ ;

$\quad\quad\quad$ Exemple : mauvais alignement de l'observateur avec l'instrument ;

$\quad\circ\quad$ Erreurs environnementales : $\epsilon_{\text{env}}$ ;

$\quad\quad\quad$ Exemple : température, humidité.

III. Variabilité de la mesure d'une grandeur physique

La variabilité des mesures peut être représentée par des séries de mesures indépendantes.

$\quad\circ\quad$ La moyenne $\bar{x}$ d'une série de $n$ mesures est donnée par :

$\boxed{\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i}$

$\quad\circ\quad$ L'écart-type $s$ est calculé par :

$\boxed{s ~ \text{ou} ~ \sigma = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}}$

Un histogramme permet de visualiser la distribution des valeurs mesurées :

Histogramme

Remarque : ces notions ont été introduites en classe de seconde :

Indicateurs de dispersion : écart interquartile et écart type

IV. Justesse et fidélité

La justesse d'une mesure $\bar{x}$ est sa proximité avec la valeur de référence (ou valeur vraie) $x_{\text{réf}}$ .

La fidélité d'une mesure est la capacité à obtenir des résultats proches les uns des autres lors de mesures répétées.

L'erreur de justesse est donnée par : $\boxed{\epsilon _{\text{justesse}} = \bar{x} - x_{\text{réf}}}$

L'écart-type $s$ ( $\text{ou} ~ \sigma$ ) est une mesure de la fidélité.

V. Dispersion des mesures et incertitude-type

La dispersion des mesures est évaluée par une approche statistique.

L'incertitude-type, noté $u$ , est une estimation de l'écart-type de la distribution des valeurs mesurées $M$ :

$\boxed{u(M) = s}$

L'incertitude-type rend compte de l'étendue des valeurs que l'on peut raisonnablement attribuer à une grandeur physique.

L'incertitude-type est notée $u$ et s'exprime dans la même unité que la grandeur mesurée.

VI. Écriture d'un résultat

Un résultat de mesure doit être exprimé avec le nombre de chiffres significatifs adaptés (abordés en classe de seconde) :

L'incertitude-type doit être indiquée avec le résultat de mesure :

$M = \bar{x} \pm u(M) \, \text{unité}$

Exemple : la longueur mesurée vaut $L=(10,05 \pm 0,05) \, \text{cm}$ .

Important : le résultat doit toujours être exprimé avec une unité correspondante.

L'incertitude élargie $U$ est souvent utilisée pour exprimer un intervalle de confiance :

$\boxed{U = k \cdot u}$

où $k$ est le facteur d'élargissement (souvent $k = 2$ pour un niveau de confiance d'environ $95\%$ ).

VII. Valeur de référence

La valeur de référence est la valeur maximale raisonnable entre le résultat d'une mesure et une valeur de référence.

La valeur de référence peut être issue de l'exploitation d'un modèle physique ou d'une valeur connue.

Ainsi, discuter de la validité d'un résultat consiste à comparer la différence entre le résultat d'une mesure et la valeur de référence, et d'autre part avec l'incertitude-type.

L'écart réduit $E_n$ est donné par :

$\boxed{E_n = \dfrac{|\bar{x} - x_{\text{réf}}|}{u}}$

Si $E_n < 1$ , le résultat est considéré comme valide.

Exemple d'application :

Si la valeur de référence pour une longueur est de $10,00~cm$ et que la mesure donne $L = (10,05 \pm 0,05) \, \text{cm}$ , on peut discuter de la validité de la mesure en comparant l'écart avec l'incertitude-type.

On calcule l'écart réduit :

$E_n = \dfrac{|10,05 - 10,00|}{0,05} = 1$

Ici, $E_n = 1$ , ce qui signifie que le résultat est à la limite de la validité.

Mesure et Incertitudes

I. Grandeurs et unités

II. Sources d'erreurs

III. Variabilité de la mesure d'une grandeur physique

IV. Justesse et fidélité

V. Dispersion des mesures et incertitude-type

VI. Écriture d'un résultat

VII. Valeur de référence

VIII. Pour aller plus loin

Mesure et Incertitudes

I. Grandeurs et unités

II. Sources d'erreurs

III. Variabilité de la mesure d'une grandeur physique

IV. Justesse et fidélité

V. Dispersion des mesures et incertitude-type

VI. Écriture d'un résultat

VII. Valeur de référence

VIII. Pour aller plus loin