Loi géométrique

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I. Définition

On considère une épreuve de Bernoulli pour laquelle la probabilité d’un succès est $p$, et on répète cette épreuve de manière indépendante jusqu’à l’obtention d’un succès.

La variable aléatoire $X$ donnant le nombre d’essais nécessaires pour obtenir ce succès suit la loi géométrique de paramètre $p$, notée $G(p)$.

Exemple :
On lance un dé équilibré à quatre faces numérotées de 1 à 4 jusqu’à l’obtention d’un 2.

La variable aléatoire $D$ donnant le nombre d’essais nécessaires pour obtenir un 2 suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}25$.

En effet, $D$ donne le rang du premier succès « obtenir 2 » dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

II. Propriétés

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $G(p)$, et $k \in \mathbb{N}^*$, alors :

$\circ\quad$ $\mathbb{P}(X = k) = p(1 - p)^{k - 1}$
$\circ\quad$ $\mathbb{P}(X \leq k) = 1 - (1 - p)^k$
$\circ\quad$ $\mathbb{P}(X > k) = (1 - p)^k$
$\circ\quad$ $\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{p}$

Exemple :
Dans l’exemple précédent, $D \sim G(0{,}25)$.

La probabilité qu’il faille cinq essais pour obtenir un 2 est :

$\small \mathbb{P}(D = 5) = 0{,}25 \times (1 - 0{,}25)^{5 - 1} = 0{,}25 \times 0{,}75^4 \approx 0{,}08$

L’espérance de $D$ est : $\mathbb{E}(D) = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$

Cela signifie que si l’on répète un grand nombre de fois cette expérience, le nombre moyen d’essais pour obtenir un 2 sera proche de 4.

Remarque :
Pour $X \sim G(p)$, son diagramme en barres est en décroissance exponentielle.
La première barre (hauteur en $k = 1$) est : $p = \mathbb{P}(X = 1)$

III. Propriété : Non-vieillissement ou absence de mémoire de la loi géométrique

Pour $X$ suivant une loi géométrique, on a : $\mathbb{P}_{X > s}(X > s + t) = \mathbb{P}(X > t)$
pour tous $s \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{N}^*$.

Réciproque :
Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ telle que, pour tous $s \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{N}^*$,
on ait : $\mathbb{P}_{X \gt s}(X \gt s + t) = \mathbb{P}(X \gt t)$ alors $X$ suit une loi géométrique.

Exemple :
Dans l’exemple précédent, la probabilité qu’il faille plus de 10 essais pour obtenir un 2 sachant qu’on n’a toujours pas obtenu de 2 après 7 essais est :

$\mathbb{P}_{D \gt 7}(D \gt 10) = \mathbb{P}_{D \gt 7}(D \gt 7 + 3) = \mathbb{P}(D) \gt 3)$

Or :

$\mathbb{P}(D \gt 3) = (1 - 0{,}25)^3 = 0{,}75^3 \approx 0{,}42$

Cela montre que la probabilité d’échouer 3 fois de plus, sachant qu’on a déjà échoué 7 fois, est la même que si l’on commençait à 0 : les 7 premiers essais sont oubliés.