Limites et asymptotes

La notion de limite vue pour les suites peut s’étendre aux fonctions. On découvrira alors la limite lorsque x tend vers une valeur finie.

I) Limite finie en l’infini

Définitions : Dire que ℓ est la limite de f(x) quand x tend vers + ∞ (resp. − ∞) signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand (resp. pourvu que x soit négatif et suffisamment grand en valeur absolue).

On note $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$).

Définitions : Soit ℓ un nombre réel. Dire que la droite d’équation y = ℓ est asymptote à la courbe représentative de f en + ∞ (resp. en − ∞) signifie que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$).

À noter

La courbe se rapproche de « plus en plus » de son asymptote.

II) Limite infinie en l’infini

Définitions : Dire qu’une fonction f tend vers $+\infty$ (resp. − ∞) quand x tend vers + ∞ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; + ∞[ (resp. ]− ∞ ; A[) contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand.

On note $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ (resp. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$).

On a des définitions analogues lorsque x tend vers − ∞.

III) Limite infinie en un point

Définitions : Dire que f a pour limite $+\infty$ (resp. − ∞) en x₀ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; + ∞[ (resp. ]− ∞ ; A[) contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment proche de x₀.

Définition : Soit ℓ un nombre réel. Dire que la droite d’équation x = ℓ est asymptote à la courbe représentative de f signifie que $\underset{x\to \ell }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty .$

Remarque : Le calcul de limites de fonctions se fera d’une manière analogue à celui des suites, en utilisant les opérations sur les limites. On pourra faire tendre x vers une valeur finie, + ∞ ou − ∞.

Les limites des fonctions usuelles sont données dans le mémo visuel.

Méthode

Lire et interpréter une limite

On considère une fonction f dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous :

a. Quel est l’ensemble de définition D_f de f ?

b. Quelles limites pouvez-vous lire sur ce graphique ?

Les interpréter géométriquement.

c. Dresser le tableau de variations complet de f sur D_f .

Conseils

Les limites de f se lisent en + ∞, et aux points en lesquels la fonction n’est pas définie.