Continuité, théorème des valeurs intermédiaires

Certaines courbes se tracent « en un seul morceau ». On peut retrouver ce critère grâce à l’étude de la continuité de la fonction associée à la courbe.

I) Définitions – Propriétés

Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est continue en x₀, x₀∈ I, si f admet une limite finie en x₀. Cette ­limite est alors f(x₀).

Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est continue sur I, si f est continue en tout point de I.

Exemple : La fonction est continue sur ]−4 ; 0] et sur ]0 ; 4] mais pas sur [−4 ; 4].

Propriétés :

 Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ.

 Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.

 La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est continue sur [0 ; + ∞[.

 La fonction exponentielle est continue sur ℝ.

Théorème : Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.

II) Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, soient a et b deux réels de I. Alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Remarque : Cela revient à dire que, si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x) = k admet au moins une solution comprise entre a et b : c’est le nombre c.

Corollaire : théorème de la bijection Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k a une solution unique dans [a ; b].

Exemple : f(x) = k admet trois solutions sur [−2 ; 2].

Conseils

Nous allons appliquer le théorème de la bijection avec k = −2.

Étape 1 Explicitez la fonction f à laquelle on souhaite appliquer ce théorème.

Étape 2 Vérifiez les hypothèses de ce théorème : f est continue sur [1 ; 2] ; f est strictement monotone sur [1 ; 2] ; −2 est compris entre f(1) et f(2).

Étape 3 Appliquez le théorème de la bijection et concluez.

Solution

Étape 1 On introduit la fonction f définie par f(x) = −x³ + x² − x.

Résoudre l’équation (E) revient à résoudre f(x) = −2.

Étape 2

f est une fonction polynôme donc f est continue sur ℝ, donc sur [1 ; 2].

Montrons que la dérivée de f est de signe constant sur [1 ; 2].

f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur [1 ; 2], et pour tout x ∈ [1 ; 2], f ′(x) = −3x² + 2x −1, polynôme du second degré, dont on va calculer le discriminant : Δ = 2² − 4 × (−3) × (−1) = −8 < 0. Donc $f^{\prime }\left(x\right)$ est toujours du signe de −3, donc $f^{\prime }\left(x\right)$ toujours négatif. La fonction f est donc strictement décroissante sur [1 ; 2].

−2 est bien compris entre f(1) = −1 et f(2) = −6.

Étape 3 D’après le théorème de la bijection, l’équation f(x) = −2 admet une unique solution sur [1 ; 2].

À noter

On peut remarquer ici que f étant décroissante sur [1 ; 2], l’image par f de [1 ; 2] est [f(2) ; f(1)] = [−6 ; −1].