Les trois identités remarquables

I. Produit d'une différence par une somme de deux mêmes valeurs

Propriété (apprise en 3^e)
Pour tous nombres a et b, on a : $\boxed{(a - b)(a + b) = a^2 - b^2}$

Exemples

Développer :

$(5x - 3)(5x + 3) = (5x)^2 - 3^2 = 25x^2 - 9$

$(2x + 5)(2x - 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$

Calculer mentalement :

$\checkmark$ $99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1)$

$99 \times 101= 100^2 - 1^2$

$99 \times 101= 10~000 - 1 = 9~999$

$\checkmark$$21 \times 19 = (20 + 1)(20 - 1)$

$99 \times 101= 20^2 - 1^2$

$99 \times 101= 400 - 1 = 399$

$\checkmark$ $32 \times 28 = (30 + 2)(30 - 2)$

$32 \times 28= 30^2 - 2^2$

$32 \times 28=896$

II. Le carré d'une somme

Propriété

Pour tous nombres $a$ et $b$, on a : $\boxed{(a + b)² = a² + 2ab + b²}$

Exemples

Développer
$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$

$\small (5x + 3)^2 = (5x)^2 + 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = 25x^2 + 30x + 9$

$\small(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$

Calculer
$\begin{aligned}{\small 11^2} & = (10 + 1)^2 \\ & \phantom{=} = 10^2 + 2 \times 10 \times 1 + 1^2 \\ & \phantom{=} = 100 + 20 + 1 \\ & \phantom{=} = 121 \\[6pt]{\small 13^2} & = (10 + 3)^2 \\ & \phantom{=} = 10^2 + 2 \times 10 \times 3 + 3^2 \\ & \phantom{=} = 100 + 60 + 9 \\ & \phantom{=} = 169 \\[6pt]{\small 22^2} & = (20 + 2)^2 \\ & \phantom{=} = 20^2 + 2 \times 20 \times 2 + 2^2 \\ & \phantom{=} = 400 + 80 + 4 \\ & \phantom{=} = 484 \\[6pt]{\small 101^2} & = (100 + 1)^2 \\ & \phantom{=} = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 \\ & \phantom{=} = 10~000 + 200 + 1 \\ & \phantom{=} = 10~201\end{aligned}$

III. Le carré d'une différence

Propriété

Pour tous nombres $a$ et $b$, on a : $\boxed{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$

Exemples

Développer

$(x - 7)^2 = x^2 - 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49$

$\small (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

$\small (5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9$

Calculer

$\small 99^2 = (100 - 1)^2$

$\phantom{99²}= 100^2 - 2 \times 100 \times 1 + 1^2$

$\phantom{99²}= 10~000 - 200 + 1$

$\phantom{99²}= 9~801$