Les racines carrées et leurs propriétés

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I. Carré d'un nombre

Pour tout nombre a, le carré de a est $a^2= a \times a$.
$a^2$ est le carré de a.

Exercice :
On connaît $a^2$ et on veut retrouver $a$.
$a^2 = 25$, alors $a = 5$ ou $a = -5$.
AB est une longueur. $AB^2 = 13$, alors $AB = \sqrt{13}$ (AB est positif car c'est une longueur).
troncature au millième: $AB \approx 3,605$
arrondi au centième: $AB \approx 3,61$

II. Racine carrée d'un nombre positif

Sur la figure ci-dessus, $ABCD$ est un rectangle avec : $AB = 3$ ; $BC = 2$.
Calculons la longueur de la diagonale du rectangle $ABCD$ :
Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 13$
La valeur exacte de AC est : $\sqrt{13}$

Définition :
$a$ désigne un nombre positif.
La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est égal à a.
Ce nombre est noté $\sqrt{a}$.

$\sqrt{a}$ se lit "racine carrée de a". Le symbole $\sqrt{}$ s'appelle un radical.
On a : $a \geq 0\, , \left(\sqrt{a}\right)^2 = a$

Exemples :
$\sqrt{0} = 0\\\sqrt{1} = 1$
$\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$ et 5 est un nombre positif.
$\sqrt{\dfrac{16}{9}} = \dfrac{4}{3}$ car $\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9}$ et $\dfrac{4}{3}$ est un nombre positif.

Propriété :
Si a désigne un nombre positif, alors : $\boxed{\sqrt{a^2} = a}$

Preuve :
D'après la définition, $\sqrt{a^2}$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a^2$.
Or, a est le nombre positif dont le carré est $a^2$.
Donc : $\sqrt{a^2} = a$

Exemple :
$\sqrt{12,4^2} = 12,4$

III. Équation de la forme $x^2 = a$

Propriété :
$\checkmark$ Si $a \gt 0$,
alors l'équation $x^2 = a$ admet deux solutions : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$

$\checkmark$ Si $a = 0$,
alors l'équation $x^2 = a$ admet une seule solution : 0

$\checkmark$ Si $a \lt 0$,
alors l'équation $x^2 = a$ n'admet pas de solution.

Preuve :

$\checkmark$ Si $a \gt 0$ :
L'équation $x^2 = a$ s'écrit :
$x^2 - a = 0 \\x^2 - \left(\sqrt{a}\right)^2 = 0 \\\left(x - \sqrt{a}\right) \left(x + \sqrt{a}\right) = 0 \\x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$
L'équation $x^2 = a$ admet deux solutions : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$

$\checkmark$ Si $a = 0$ :
L'équation $x^2 = a$ s'écrit $x^2 = 0$
L'équation $x^2 = a$ admet une seule solution : 0

$\checkmark$ Si $a \lt 0$ :
Un carré n'étant jamais négatif, l'équation $x^2 = a$ n'admet pas de solution.

Exemples :
L'équation $x^2 = 17$ admet deux solutions : $-\sqrt{17}$ et $\sqrt{17}$
L'équation $x^2 = -2$ n'admet aucune solution

IV. Produit et quotient de racines carrées

Produit de deux racines
Conjecture : Calculer :
$\begin{array}{lll}\sqrt{9} \times \sqrt{4} = ... & \hspace{15pt} & \sqrt{9 \times 4} = ... \\\sqrt{16} \times \sqrt{9} = ... & & \sqrt{16 \times 9} = ... \\\sqrt{25} \times \sqrt{4} = ... & & \sqrt{25 \times 4} = ... \end{array}$

Solution :
$\begin{aligned}\sqrt{9} \times \sqrt{4} &= 3 \times 2 = 6 \\\sqrt{9 \times 4} &= \sqrt{36} = 6 \\[6pt]\sqrt{16} \times \sqrt{9} &= 4 \times 3 = 12 \\\sqrt{16 \times 9} &= \sqrt{144} = 12 \\[6pt]\sqrt{25} \times \sqrt{4} &= 5 \times 2 = 10 \\\sqrt{25 \times 4} &= \sqrt{100} = 10\end{aligned}$
On constate que :
$\begin{aligned} \sqrt{9} \times \sqrt{4} &= \sqrt{9 \times 4} \\ \sqrt{16} \times \sqrt{9} &= \sqrt{16 \times 9} \\ \sqrt{25} \times \sqrt{4} &= \sqrt{25 \times 4} \end{aligned}$

Propriété :

Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égale à la racine carrée de leur produit.
Pour tous nombres a et b ($a \geq 0$ et $b \geq 0$) : $\boxed{\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}}$

Preuve : Montrons que $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (pour tous les nombres a et b positifs).

Calculons le carré de $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ :
$\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \times b$
Le nombre $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est le produit de deux nombres positifs. Il est donc positif et son carré est égal à $a \times b$
On en déduit que : $\sqrt{\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2} = \sqrt{a \times b}$, c'est-à-dire $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

Exemples :
$\begin{aligned}\sqrt{2} \times \sqrt{7} &= \sqrt{2 \times 7} = \sqrt{14} \\[6pt]\sqrt{5} \times \sqrt{80} &= \sqrt{5 \times 80} = \sqrt{400} = \sqrt{20^2} = 20 \\[6pt]\sqrt{50} &= \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \\[6pt]\sqrt{28} &= \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{4} \times \sqrt{7} = 2\sqrt{7}\end{aligned}$

Quotient de deux racines
Conjecture : Calculer :
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}} &\hspace{15pt}& \sqrt{\dfrac{100}{25}} \\[6pt]\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}} &\hspace{15pt}& \sqrt{\dfrac{144}{4}} \\[6pt]\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}}&\hspace{15pt}& \sqrt{\dfrac{100}{4}}\end{aligned}$

Solution :
$\begin{array}{lll}\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}} = \dfrac{10}{5} = 2 & \hspace{15pt} & \sqrt{\dfrac{100}{25}} = \sqrt{4} = 2 \\\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}} = \dfrac{12}{2} = 6 & & \sqrt{\dfrac{144}{4}} = \sqrt{36}= 6 \\\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = \dfrac{10}{2} = 5 & & \sqrt{\dfrac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5\end{array}$

On constate que :
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}} &= \sqrt{\dfrac{100}{25}} \\[6pt]\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}} &= \sqrt{\dfrac{144}{4}} \\[6pt]\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} &= \sqrt{\dfrac{100}{4}}\end{aligned}$

Propriété :
Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égale à la racine carrée de leur quotient.
Pour tous les nombres a et b positifs, on a :

$\boxed{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}}$

Preuve : Montrons que $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ (pour tous les nombres a et b positifs).
$\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{b}\right)^2} = \dfrac{a}{b}$
Le nombre positif $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ a donc pour carré $\dfrac{a}{b}$.
Or, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ est le seul nombre positif qui a pour carré $\dfrac{a}{b}$.
Donc $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$

Exemples :
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} &= \sqrt{\dfrac{3}{7}} \\[6pt]\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}} &= \sqrt{\dfrac{49}{7}} = \sqrt{7} \\[6pt]\sqrt{\dfrac{16}{25}} &= \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \dfrac{4}{5}\end{aligned}$

Remarques
La somme de deux racines carrées n'est pas égale à la racine carrée de la somme.
Exemple :
$\sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$ et

$\sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

Donc : $\sqrt{64} + \sqrt{36} \neq \sqrt{64 + 36}$

La différence de deux racines carrées n'est pas égale à la racine carrée de la différence.
Exemple :
$\sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2 \\\sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$
Donc : $\sqrt{25} - \sqrt{9} \neq \sqrt{25 - 9}$