Utiliser les racines carrées en géométrie

I. Calculer la longueur de la diagonale d'un carré

$ABCD$ est un carré de côté a. Déterminons $BD$.
$ABCD$ est un carré, donc $BCD$ est un triangle rectangle en $C$. Appliquons le théorème de Pythagore dans ce triangle :
$BD^2 = BC^2 + DC^2 = a^2 + a^2 = a^2 \times 2$
Donc $BD = \sqrt{a^2 \times 2} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{2} = a\sqrt{2}$

La diagonale d'un carré de côté a mesure $a \sqrt{2}$

II. Calculer la longueur de la hauteur d'un triangle équilatéral

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $a$. $(AH)$ est la hauteur issue de $A$. Déterminons $AH$.
$(AH)$ est la hauteur issue de $A$, donc $AHC$ est un triangle rectangle en $H$.
$(AH)$ est aussi un axe de symétrie du triangle. Elle coupe donc $[BC]$ en son milieu $H$. Donc $HC = \dfrac{a}{2}$

Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$, on applique le théorème de Pythagore.
$AC^2 = AH^2 + HC^2$
$AH^2 = AC^2 - HC^2$

$\phantom{AH²}= a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$

$\phantom{AH²}= a^2 - \dfrac{a^2}{4}$

$\phantom{AH²}= \dfrac{4a^2}{4} - \dfrac{a^2}{4}$

$\phantom{AH²}= \dfrac{3a^2}{4}$
Donc :

$AH = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{3a^2}}{\sqrt{4}}$

$\phantom{AH} = \dfrac{\sqrt{3} \sqrt{a^2}}{\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{3} \times a}{2} = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

La hauteur d'un triangle équilatéral de côté a mesure $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

III. Une inégalité

Propriété :

Soient $a > 0$ et $b > 0$, alors : $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$

On va comparer ces deux quantités à l’aide d’une construction géométrique.

Considérons un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$.

Appliquons le théorème de Pythagore, l’hypoténuse de ce triangle vaut :

$\sqrt{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2} = \sqrt{a + b}$

Or, dans tout triangle, la somme des longueurs de deux côtés est strictement supérieure à la longueur du troisième côté. Ici, on a :

$\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b}$

Cette inégalité est stricte car $a$ et $b$ sont strictement positifs, donc le triangle n’est pas plat.

On obtient ainsi : $\boxed{\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Cette démonstration repose sur l’inégalité triangulaire appliquée à un triangle rectangle construit à partir de $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$.