La fonction cube

I. Définition

La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on définit $f(x) = x^3$

Exemples :
$f(0) = 0^3 = 0$
$f(1) = 1^3 = 1$
$f(-2) = (-2)^3 = -8$

Tableau de valeurs :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\\hline x^3 & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\\hline\end{array}$

La courbe représentative de la fonction cube passe par les points :
$(-2;-8), (-1;-1), (0;0), (1;1), (2;8)$

II. Parité

L'ensemble de définition est $\mathbb R$ qui est bien un ensemble symétrique par rapport à $0$.
Pour tout $x$ de $\mathbb R$, $-x$ appartient à $\mathbb R$ et $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$.

La fonction cube est une fonction est impaire.

La courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

III. Représentation graphique

On dit qu'on a dessiné la courbe d'équation $y=x^3$.

IV. Comparaison des images de deux valeurs

Cela signifie que :
Si $a \le b$, alors $a^3 \le b^3$

Donc on conserve l’ordre entre les antécédents et leurs images.

Exemple :
Si $c$ et $d$ sont deux nombres négatifs tels que $c \leq d$, alors $f(c) \leq f(d)$ (car la fonction est croissante même sur les négatifs).

Contrairement à la fonction carré, on ne renverse pas l’ordre des images quand on compare deux nombres négatifs.

V. Exercice d'application

Soit la fonction $f(x) = x^3$. Complète le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -1 & 0 & 1 & 3 \\\hline f(x) = x^3 & ? & ? & ? & ? & ? \\\hline \end{array}$

Questions :

1. Classe les antécédents dans l’ordre croissant.

2. Que peux-tu dire de l’ordre des images ?

3. Qu'en déduis-tu sur l'ordre ?

Solution :

On complète le tableau :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -1 & 0 & 1 & 3 \\\hline f(x) = x^3 & -27 & -1 & 0 & 1 & 27 \\\hline \end{array}$

1. Antécédents dans l’ordre croissant : $-3 \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt 3$

2. Images correspondantes : $-27 \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt 27$

3. Conclusion : l'ordre est conservé.