Pour aller plus loin : Aire d’un triangle avec le sinus + Formule d’Al-Kashi

I. Aire d’un triangle à l’aide du sinus

1. On peut démontrer que :

Dans un triangle $ABC$, si on connaît deux côtés $a$ et $b$ et l’angle $\widehat{C}$ compris entre eux, alors :

$\boxed{ \text{Aire} = \dfrac{1}{2}ab \sin C }$

⚠️ Cette formule ne s’utilise que si l’angle est compris entre les deux côtés connus.

2. Exemple d'application

Dans le triangle $ABC$, on a :

• $AB = 5$ cm

• $AC = 7$ cm

• $\widehat{A} = 40^\circ$

Calculer l’aire du triangle.

Solution :
Ici, $AB$ et $AC$ sont les deux côtés adjacents à l’angle $\widehat{A}$, donc :

$\text{Aire} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 40^\circ$

$\text{Aire} \approx \dfrac{35}{2} \times 0{,}6428 \approx 17{,}5 \times 0{,}6428 \approx 11{,}25\ \text{cm}^2$

II. Formule d’Al-Kashi

1. On peut démontrer que :

Dans n’importe quel triangle $ABC$, on a : $\boxed{ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A }$

Et de manière symétrique :

$\boxed{ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B }$

$\boxed{ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C }$

Cette formule permet de calculer un côté inconnu quand on connaît les deux autres côtés et l’angle compris.

👉 Cette formule généralise le théorème de Pythagore :
En effet, si l’angle est droit ($\cos 90^\circ = 0$), alors $a^2 = b^2 + c^2$.

2. Exemple 1 – Calcul d’un côté

Dans un triangle $ABC$, on a :

• $b = 5$ cm,

• $c = 7$ cm,

• $\widehat{A} = 60^\circ$

Calculer la longueur $a$.

Solution :
On utilise : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ$

$a^2 = 25 + 49 - 70 \cdot 0{,}5 = 74 - 35 = 39$

Donc $a = \sqrt{39} \approx 6{,}24$ cm3.

2. Exemple 2 – Calcul d’un angle

Dans un triangle $ABC$, on a :

• $a = 6$ cm,

• $b = 5$ cm,

• $c = 7$ cm

Calculer l’angle $\widehat{A}$.

Solution :
On utilise la formule d’Al-Kashi :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$6^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos A$

$36 = 25 + 49 - 70 \cos A \Rightarrow 36 = 74 - 70 \cos A$

$70 \cos A = 74 - 36 = 38 \Rightarrow \cos A = \dfrac{38}{70} \approx 0{,}543$

Donc $A \approx \cos^{-1}(0{,}543) \approx 57^\circ$

III. Résumé

• Pour calculer l’aire : utiliser $\dfrac{1}{2} ab \sin C$ si deux côtés et l’angle compris sont connus.

• Pour calculer un côté inconnu : utiliser la formule d’Al-Kashi avec deux côtés + l’angle compris.

• Pour calculer un angle : on isole $\cos A$ à partir de la même formule.