Fréquences et probabilités

Que ce soit pour calculer une fréquence ou une probabilité, tout est souvent dans la lecture précise de l'énoncé qu'il est indispensable d'organiser. 

I-Fréquence conditionnelle et fréquence marginale

Partons d'un exemple d'énoncé pour comprendre les différentes définitions.

Exemple : 

Dans un collège, on s'est intéressé aux élèves pratiquant certaines activités sportives tout en regardant s'ils étaient demi-pensionnaires ou non.
$132$ élèves sont externes. Parmi eux $54$ pratiquent le rugby et $46$ jouent tennis. On sait qu'au total $80$ élèves jouent au rugby, autant jouent au tennis et $50$ font du badminton.

On peut obtenir le tableau suivant dans lequel on a calculé les données que l'énoncé ne fournissait pas. Ce tableau à double entrée comporte une dernière colonne ainsi qu'une dernière ligne appelée à chaque fois « Total », ce sont les marges du tableau.

Comment remplir le tableau à double entrée : 

Puisque $132$ élèves sont externes et que $100$ pratiquent le rugby ou le tennis, cela signifie donc que $132 - 100 = 32$ élèves font du badminton.
Puisqu'on connaît le nombre total d'élèves pratiquant chacun des trois sports, on en déduit le nombre d'élèves demi-pensionnaires associés à ces sports.

On vérifie que le nombre total d'élèves, en ligne et en colonne, est bien le même.

1) Fréquence conditionnelle

Quelle est la fréquence conditionnelle de joueurs de tennis parmi les externes ? 

Dans cette question, on ne s'intéresse qu'aux externes. Ceci représente une restriction de l'ensemble total. On ne lit que la ligne correspondant aux externes dans le tableau. 

Parmi les externes, le nombre de joueurs de tennis est de 46, le nombre d'externes est de $132$. La fréquence conditionnelle de joueurs de tennis parmi les externes est de $\dfrac{46}{132}\approx 0,348$ soit environ $34,8\%$.

2) Fréquence marginale

Quelle est la fréquence marginale des demi-pensionnaires dans ce collège ? 

Une fréquence marginale se lit dans les marges du tableau. Dans ce collège de $210$ élèves, on lit que $78$ sont demi-pensionnaires. La fréquence marginale des demi-pensionnaires dans ce collège est de $\dfrac{78}{210}\approx 0,371$ soit environ $37,1\%$.

A retenir : 

• L'organisation : Pour calculer une fréquence, une organisation très pratique est le tableau à double entrée lorsque cela est possible.
•  Une fréquence conditionnelle impose une condition, et se calcule sur une ligne ou une colonne intérieure du tableau.
• Une fréquence marginale se lit dans une des marges du tableau.

II-Probabilité conditionnelle

Rappels des classes antérieures : 

• La probabilité de l'événement certain vaut $1$.
• La probabilité de l'événement impossible vaut $0$.
• Une probabilité est un nombre compris entre $0$ et $1$.
• Si $A$ et $B$ sont deux événements, si $\overline A$ désigne l'événement contraire à $A$, on peut écrire : 
  • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ($\cup$ pour réunion, en Français le mot « ou » ; $\cap$ pour intersection, en Français le mot « et »).
  • $P(\overline A)=1-P(A)$.

1) Définition : 

On appelle probabilité de $B$ sachant $A$ la probabilité que $B$ se réalise sachant que $A$ est réalisé. Celle-ci est notée $P_A(B)$.

2) Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un tableau à double entrée

Exemple : 

Lors d'un contrôle antidopage portant sur $200$ sportifs, $20$ ont été contrôlés positifs.

Les sportifs peuvent être déclarés positifs (qu'ils soient dopés ou non) ou négatifs (qu'ils soient dopés ou non).

On sait que :
$90\%$ des sportifs dopés sont déclarés positifs ;
$5\%$ des sportifs non dopés sont déclarés positifs.

Calculer la probabilité qu'un sportif ayant été déclaré négatif soit réellement dopé.

Organisation à l'aide d'un tableau à double entrée : 

3 colonnes, pour « dopé », « non dopé » et « total » et 3 lignes pour « positif », « négatif » et « total ». Cela aurait pu être inversé, peu importe. L'ordre utilisé pour compléter le tableau à la lecture de l'énoncé a été mis en (1), (2). Les nombres en noir se déduisent des autres par addition ou soustraction. Les nombres (en bleu, (4) et (5)) se calculent avec les données de l'énoncé.

Répondons à la question posée maintenant que l'énoncé est organisé : 

On s'intéresse à la probabilité qu'un sportif ayant été déclaré négatif soit réellement dopé. On sait que le sportif est déclaré négatif, cela constitue une restriction de notre ensemble total. les résultats vont se lire dans la ligne « négatif ». La cellule « dopé-négatif » est de $2$. Le total des « négatifs » est de $173$. 

La probabilité qu'un sportif ayant été déclaré négatif soit réellement dopé est :  $\dfrac{2}{173}\approx 0,01$. 

3) Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un arbre pondéré

3.1) Savoir lire des probabilités sur un arbre pondéré.

Après avoir complété cet arbre pondéré, que vaut $P_A(\overline C)$ et $P(\overline A \cap C)$ ?

Solution : 

On sait qu'à chaque noeud d'un arbre, la somme des probabilités vaut $1$.

Au premier niveau : $P(\overline A)=1-P(A)=1-\dfrac 1 3=\dfrac 2 3$.

On complète les autres branches de la même manière. On obtient : 

Rappel : Dans ce type d'arbre pondéré, les probabilités des branches de 2^e niveau sont des probabilités conditionnelles. On sait que $A$ ou $\overline A$ est réalisé avant que l'événement suivant se réalise. 

Si on lit la branche qui va de $A$ à $\overline C$, on lit que $p_A(\overline C)=\dfrac 1 4$.

La probabilité de $\overline A \cap C$ va se calculer en suivant successivement la branche de la racine vers $\overline A$ suivie de la branche de $\overline A$ vers $C$. 

$P(\overline A \cap C)=\dfrac 2 3 \times \dfrac 3 5=\dfrac 2 5$.

3.2) Construire un arbre pondéré pour organiser son énoncé.

Voici les résultats d'un sondage effectué auprès de $2~000$ personnes, à propos de la fréquentation des salles de cinéma :

• $40\%$ des personnes interrogées ont moins de 20 ans et parmi celles-ci trois cinquièmes déclarent aller au cinéma ;
• parmi les plus de $20$ ans, $70\%$ ne vont pas au cinéma.

Quelle est la probabilité qu'une personne interrogée au hasard aille au cinéma ?

Solution : Soit 

•  $J$ l'événement « être une personne de moins de $20$ ans »
• $C$ l'événement « aller au cinéma ».

D'après l'énoncé, $40\%$ des personnes interrogées ont moins de 20 ans ce qui s'écrit $P(J)=\dfrac{40}{100}=\dfrac 2 5$.

On sait également que : $40\%$ des personnes interrogées ont moins de $20$ ans et parmi celles-ci trois cinquièmes déclarent aller au cinéma  ce qui s'écrit $P_{J}(C)=\dfrac 3 5$ puis que parmi les plus de $20$ ans, $70\%$ ne vont pas au cinéma ce qui sécrit $P_{\overline J}(\overline C)=\dfrac{70}{100}$.

Résumons ces données dans un arbre pondéré. (Les données entourées sont celles de l'énoncé, les autres s'en déduisent immédiatement)

Quelle est la probabilité qu'une personne interrogée au hasard aille au cinéma ? Deux branches de cet arbre répondent à la question. 

$P(C)=P(J\cap C)+P(\overline J\cap C)$

${\phantom{P(C)}=\dfrac 2 5\times \dfrac 3 5+\dfrac 3 5\times \dfrac{3}{10}}$ 

${\phantom{P(C)}=\dfrac{6}{25}+\dfrac{9}{50}=\dfrac{21}{50}}$.

La probabilité qu'une personne interrogée au hasard aille au cinéma est de $\dfrac{21}{50}$.

4) Retenir une formule de probabilité conditionnelle

Dans ces exemples a été utilisée régulièrement cette présentation qui permet de retenir ces résultats sous forme de formules :

$\boxed{P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)}$ 

ou

en divisant les deux membres par $P(A)$

$\boxed{P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}}$