Evénements indépendants, succession d'événements indépendants

En langue française, on annonce parfois que des événements sont indépendants. Exemple : je tire une carte dans un jeu de 32 cartes, et simultanément je jette un dé à 6 faces, manifestement ces événements sont indépendants l’un de l’autre. Mais cela n’est pas toujours aussi facile à trancher.

I. Événements indépendants

1) Définition 1

Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilité non nulle.

On dit que $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

2) Propriété

En reprenant la présentation de deux événements $A$ et $B$ qui se produisent successivement à l’aide d’un arbre pondéré, nous avons :

Mais si nous savons que les événements sont indépendants, la survenue de $A$ n'a pas d'incidence sur celle de $B$ et la branche de l’arbre va être :

d’où la propriété :

Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilité non nulle.

On dit que $A$ et $B$ sont indépendants si $\boxed{P_A(B)=P(B)}$ ou $\boxed{P_B(A)=P(A)}$

Remarque : Il ne faut pas confondre les termes « indépendant » et « incompatible ». Le terme « incompatible » s'utilise pour deux événements d'intersection vide, c'est-à-dire deux événements dont la probabilité de l'intersection vaut $0$.

Conclusion :

Pour montrer que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, on peut indifféremment montrer que

$\boxed{P(A\cap B)=P(A)\times P(B) }$ ou $\boxed{P_A(B)=P(B)}$ ou $\boxed{P_B(A)=P(A)}$

3) Exemple 

On considère l'arbre des probabilités suivant, où A et B désignent deux événements.

• Calculer $P_A(\overline{B})~,~P(A\cap B)~,~P(B)~,~P_B(A)$.
• $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Solution  

• $P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B) = 1-0,4= 0,6$
• Probabilité de $A\cap B)$ : $P(A\cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0,2 \times 0,4 = 0,08$
• On commence par calculer $P(\bar{A})$ : $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1-0,2 = 0,8$
• On peut alors calculer $P(B)$ : $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A}\cap B) = 0,08 + 0,8 \times 0,3 = 0,32$
• $P_B(A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(B)} = \dfrac{0,08}{0,32} = 0,25$

• $P(A)\times p(B) = 0,2\times 0,32 = 0,64$
• $P(A\cap B) = 0,08 \neq 0,64$
• Conclusion :  $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

II. Succession d'événements indépendants

Exemple : 

Dans un jeu de 52 cartes (qui possèdent donc 16 figures), on considère l'expérience suivante. On tire une carte, on la regarde puis on la remet dans le paquet. On tire alors une seconde carte. 

• Représenter l'ensemble des issues de cette expérience à l'aide d'un arbre. 
• Déterminer la probabilité d'obtenir deux figures.
• Déterminer la probabilité de ne pas obtenir de figure.
• Déterminer la probabilité d'obtenir au moins une figure.

Solution : Comme on remet la première carte tirée dans le paquet avant de tirer une seconde carte, ces deux tirages successifs sont indépendants  puisque le 1^er tirage n'a pas d'incidence sur le 2^e . Sur l'arbre construit, les probabilités sur les branches de second niveau ne sont pas des probabilités conditionnelles. 

Soit $F$ l'événement « tirer une figure » et $\overline F$ son événement contraire.

Lors d'un tirage, $P(F)=\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}$ donc $P(\overline F)=\dfrac{9}{13}$, ce qui permet de construire cet arbre.

La probabilité d'obtenir deux figures est : $P(\text{obtenir deux figures}) = \dfrac{4}{13} \times \dfrac{4}{13} = \dfrac{16}{169}$

et celle d'obtenir aucune figure est : $P(\text{obtenir aucune figure}) = \dfrac{9}{13}\times \dfrac{9}{13} = \dfrac{81}{169}$

L'événement contraire de « obtenir au moins une figure » est « ne pas obtenir de figure ». Donc :

$P(\text{obtenir au moins une figure}) = 1-P(\overline F~\overline F)$

$P(\text{obtenir au moins une figure}) = 1-\dfrac{81}{169}$

$P(\text{obtenir au moins une figure}) =\dfrac{88}{169}$