Forme générale de l’équation d’un plan de l’espace

On se place dans l'espace, éventuellement rapporté à un repère orthonormé.

Définition : Un vecteur non nul $\vec{n}$ est dit normal au plan $\mathscr{P}$ si, pour tous points $A$ et $M$ de $\mathscr{P}$, on a $\vec{n}.\overrightarrow{AM}=0$.

Remarque : Il existe évidemment une infinité de vecteurs normaux à un plan : ce sont tous les vecteurs colinéaires au vecteur $\vec{n}$.

Propriété : Un vecteur est dit normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Cette propriété va nous permettre d'une part de vérifier facilement qu'un vecteur est normal à un plan et, d'autre part, de déterminer les coordonnées d'un vecteur normal à un plan.

Exemple : On souhaite déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{n}$ normal à un plan dirigé par $\vec{u}(2,-1,3)$ et $\vec{v}(4,0,2)$.

Solution :
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires : une coordonnée est nulle pour l'un mais pas pour l'autre.
On note $\vec{n}(x,y,z)$.
Puisque $\vec{n}$ est normal au plan dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ alors $\vec{u}.\vec{n}=0$ et $\vec{v}.\vec{n}=0$.
On obtient ainsi les deux équations $2x-y+3z=0$ et $4x+2z=0$.
À l'aide de la deuxième équation, on obtient $z=-2x$. On remplace dans la première :
$2x-y-6x = 0 \Leftrightarrow -4x-y = 0 \Leftrightarrow y=-4x$.
On choisit, par exemple, $x=1$ et on trouve ainsi $\vec{n}(1,-4,-2)$.
On vérifie : $\vec{u}.\vec{n} = 2 + 4 -6 = 0 \checkmark$ et $\vec{v}.\vec{n}=4+0-4=0\checkmark$.
Un vecteur normal au plan dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est $\vec{n}(1,-4,-2)$.

Théorème : On considère un vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ normal à un plan $\mathscr{P}$.
Il existe alors un réel $d$ tel qu'une équation du plan $\mathscr{P}$ soit $ax+by+cz+d=0$.
Cette équation est appelée équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.

(voir démonstration 2 du fichier dédié)

Exemple : On cherche une équation du plan $\mathscr{P}$ passant par $A(4;2;-3)$ dont un vecteur normal est $\vec{n}(1;-2;-1)$.

Solution :
Une équation du plan $\mathscr{P}$ est de la forme $x-2y-z+d=0$.
Le point $A$ appartient au plan. Ses coordonnées vérifient donc l'équation :
$4-2\times 2-(-3)+d=0 \Leftrightarrow 3+d=0 \Leftrightarrow d=-3$.
Une équation de $\mathscr{P}$ est donc $x-2y-z-3=0$.

Propriété réciproque : On considère trois réels $a,b,c$ non tous nuls et un réel quelconque $d$.
L'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M(x,y,z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan dont un vecteur normal est $\vec{n}(a,b,c)$.

(voir démonstration 3 du fichier dédié)

Exemple : On considère le plan d'équation $4x-2y+3z-1=0$.
Un vecteur normal à ce plan est $\vec{n}(4;-2;3)$.
Le point $A(2;-1;-3)$ appartient au plan car : $4\times 2-2\times (-1)+3\times (-3)-1=0$.

Conclusion : Tout plan dont un vecteur normal est le vecteur de coordonnées $(a,b,c)$ avec $a, b, c$ non tous les trois nuls admet pour équation cartésienne : $ax+by+cz+d=0$ avec $d\in \mathbb R$.

De deux plans : méthode

$\circ\quad$ Déterminer une équation de chaque plan.

$\circ\quad$ Résoudre le système de deux équations à trois inconnues formé par les deux équations précédentes.

$\circ\quad$ Conclure.

Retenir que :
L'intersection de deux plans peut être :

$\circ\quad$ l'ensemble vide (lorsque les plans sont strictement parallèles).

$\circ\quad$ une droite.

$\circ\quad$ un plan (lorsque les deux plans sont confondus).

Exemple d'application :
Quelle est l'intersection de $(P)$ et $(P')$ d'équations respectives :
$x-2y+2z+2=0$ et $3x+y-z-1=0$ ?

Réponse :

On utilise $z$ comme paramètre, c'est-à-dire qu'on pose $z = t$ :
$(P)$ et $(P')$ ont pour intersection la droite de représentation paramétrique $M( x, y, z) \in P \cap P' \iff \left\lbrace\begin{matrix} x= 0{\phantom{+1\quad t\in\mathbb R}}\\ y = t+1\quad t\in\mathbb R\\z=t{\phantom{+1\quad t\in\mathbb R}} \end{matrix} \right.$ .

De trois plans
Cela revient à résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues.
L'intersection peut être :

$\circ\quad$ Vide.

$\circ\quad$ Réduite à un point (lorsque le système a une unique solution).

$\circ\quad$ Une droite (lorsque le système a une infinité de solutions exprimées en fonction d'un seul paramètre).

$\circ\quad$ Un plan (lorsque les 3 plans sont confondus).