Forme générale de l’équation d’un plan de l’espace

On se place dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{\text{i}},\overrightarrow{\text{j}}\text{,}\overrightarrow{\text{k}}\right)$ de l’espace et on caractérise un plan à l’aide d’une équation à trois inconnues : $\text{x},\text{y},\text{z}$.

I) Équation cartésienne d’un plan

Théorème Tout plan dont un vecteur normal a pour coordonnées $\left(a;b;c\right)$ a une équation cartésienne de la forme :

$ax+by+cz+d=0$

Réciproquement : si a, b, c et d sont quatre nombres tels que $\left(a,b,c\right)\ne \left(0,0,0\right)$, toute équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ est celle d’un plan dont $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)$ est un vecteur normal.

Un plan a une infinité d’équations cartésiennes. Si $ax+by+cz+d=0$ est l’une d’elle, alors $k\left(ax+by+cz+d\right)=0$ en est une autre pour tout réel $k\ne 0$.

Deux plans d’équations respectives $ax+by+cz+d=0$ et $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }z+d^{\prime }=0$ sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux le sont, c’est-à-dire si et seulement si $a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }=0$.

II) Intersections de deux plans

Théorème Tout système de la forme

$\{\begin{array}{c}ax + by + c + d = 0\\ a^{\prime }x + b^{\prime }y + c^{\prime }z + d^{\prime } = 0\end{array}$

où les deux équations sont celles de deux plans distincts $P$ et $P$′, admet une infinité de solutions si et seulement si $P$ et $P$′ ont des vecteurs normaux $\overrightarrow{n}$ et ${\overrightarrow{n}}^{\prime }$non colinéaires.

Les solutions de ce système sont les coordonnées des points de la droite d’intersection $D$ des deux plans.

À noter

Un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de $D$ est orthogonal à chaque vecteur normal de $P$ et $P^{\prime }$.

Remarque : Le système a des solutions si et seulement si $\overrightarrow{n}$ et ${\overrightarrow{n}}^{\prime }$ ne sont pas colinéaires, c’est-à-dire si les triplets (a, b, c) et (a′, b′, c′) ne sont pas proportionnels. En effet, dans le cas contraire, $P$ et $P$′ sont parallèles.

Conseils

a. Calculez les coordonnées de $\overrightarrow{\text{BC}}$ normal au plan $P$, puis traduisez analytiquement le fait qu’un point $\text{M}$ appartient à $P$ si et seulement si $\overrightarrow{\text{AM}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=0.$

b. Déterminez un vecteur normal aux plans, sachant qu’ils contiennent l’origine $\text{O}$.

$(x + 1) \times (−2) + (y −2) \times (−7) + (z − 0) \times 3=0$

$\Leftrightarrow −​2x − 7y + 3z + 12 = 0$.

b. $\overrightarrow{k}\left(0;0;1\right)$ est un vecteur normal au plan $\left(x\text{O}y\right)$, qui a donc pour équation $0x+0y+1z+d=0\text{soit }\text{z}=\text{0}$ car le plan contient $\text{O}$.

2) Étudier l’intersection de deux plans

On considère les plans $P$ et $Q$ d’équations cartésiennes respectives

Examiner la nature de l’intersection de $P$ et $Q$.

Conseils

Étudier l’intersection de $P$ et $Q$ revient à résoudre un système d’équations.

Solution

$2x + 7y − 3z − 11 = 0$

$\Leftrightarrow −2x − 7y + 3z + 11 = 0$.

$−2x − 7y + 3z = −12 − 2x − 7y + 3z = −11$ a des solutions.

Ce n’est pas le cas car $-12\ne-11$. L’intersection des deux plans est donc vide. C’est pourquoi ces plans sont parallèles.