Coordonnées des points d’intersection de droites et de plans et calculs de distances.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé.

On cherche à déterminer les coordonnées de points d'intersection entre droites et plans de l'espace.

I. Projeté orthogonal d’un point sur une droite et distance du point à la droite

Le point $A$ est connu ainsi que la droite $D$ . On désire déterminer les coordonnées de $H$ projeté orthogonal de $A$ sur $D$.

Méthode :

Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et perpendiculaire à $D$

Chercher les coordonnées du point B d'intersection entre $P$ et $D$

On a alors $d(A,D) = AH$

Exemple :

Énoncé :
Déterminer la distance entre le point $A(0 ; 3 ; -1)$ et la droite $D$ définie par $x+y+z = 0 \text{ et } y = 2$
$M(-1 ; 2 ; -1)$ et $N (0 ; 2 ; -2)$ appartiennent à $D$ donc $\overrightarrow{MN} (1;0;-1)$ est un vecteur directeur de $D$.

Solution :
Le plan perpendiculaire à $D$ et passant par $A$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{MN}$
Une équation du plan $(P)$ orthogonal à $(D)$ est donc $x-z+d=0$ ;

$A\in P$ si ses coordonnées vérifient l'équation de ce plan donc $1+d=0$, donc $d=-1$.
$P$ a pour équation $x-z-1=0$.
Cherchons l'intersection de $P$ et de $D$.
$B \in P \cap D \iff \left \lbrace \begin{matrix}B\in P\\B\in D \end{matrix} \right.$

${\phantom{B \in P \cap D}\iff \left \lbrace \begin{matrix}x-z-1= 0\\x+y+z= 0\\y= 2 \end{matrix}\right.}$

${\phantom{B \in P \cap D}\iff \left \lbrace \begin{matrix}x=-\dfrac 12\\y=2\\z=-\dfrac 32\end{matrix}\right.}$

On obtient $H\left(\dfrac{1}{2} ; 2 ; -\dfrac{3}{2}\right)​$
$d(A,D)=AH=d(A,P) = \dfrac{\sqrt 6}{2}$.

II. Projeté orthogonal d’un point sur un plan et distance du point au plan

Le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(P)$ est le point $H$ appartenant à $(P)$ tel que la droite $(AH)$ soit orthogonale au plan $(P)$. La distance de $A$ à $(P)$ est égale à $d(A,P)=AH$.

Exemple :

Soit le plan $P : 2x - 3y + z = 0$ et le point $A(1,3,1)$.

Déterminez les coordonnées du projeté $H$ du point $A$ sur le plan $P$.

Calculez la distance $d(A, P)$ entre $A$ et $H$.

Solution :

Un vecteur normal au plan $P$ est : $\vec{n} = (2, -3, 1)$.

Un systèmes d'équations paramétriques de la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$ :
$D : \left\lbrace\begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - 3t \\ z = 1 + t \end{matrix}\right.$ avec $t\in \mathbb R$.

Cherchons l'intersection de $D$ avec $P$ :
Substituons les coordonnées paramétriques dans l’équation du plan $P : 2x - 3y + z = 0$.
$2(1 + 2t) - 3(3 - 3t) + (1 + t) = 0$.
Simplifions :
$2 + 4t - 9 + 9t + 1 + t = 0$.
$4t + 9t + t + 2 - 9 + 1 = 0$.
$14t - 6 = 0$.
$t = \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7}$.

Déterminons les coordonnées du projeté orthogonal $H$ :
Substituons $t = \dfrac{3}{7}$ dans les équations paramétriques de $D$ :
$x_H = 1 + 2 \cdot \dfrac{3}{7} = 1 + \dfrac{6}{7} = \dfrac{13}{7}$.
$y_H = 3 - 3 \cdot \frac{3}{7} = 3 - \frac{9}{7} = \frac{12}{7}$.
$z_H = 1 + \dfrac{3}{7} = \dfrac{10}{7}$.
Donc, $H\left(\dfrac{13}{7}, \dfrac{12}{7}, \dfrac{10}{7}\right)$.

Calculons la distance entre $A$ et $H$ :
Utilisons la formule de la distance entre deux points :
$d(A, H) = \sqrt{\left(\frac{13}{7} - 1\right)^2 + \left(\frac{12}{7} - 3\right)^2 + \left(\frac{10}{7} - 1\right)^2}$.
Calculons chaque terme :
$\frac{13}{7} - 1 = \frac{13}{7} - \frac{7}{7} = \frac{6}{7}$.
$\frac{12}{7} - 3 = \frac{12}{7} - \frac{21}{7} = -\frac{9}{7}$.
$\frac{10}{7} - 1 = \frac{10}{7} - \frac{7}{7} = \frac{3}{7}$.
Distance :
$d(A, H) = \sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^2 + \left(-\frac{9}{7}\right)^2 + \left(\frac{3}{7}\right)^2}$.
$d(A, H) = \sqrt{\frac{36}{49} + \frac{81}{49} + \frac{9}{49}} = \sqrt{\frac{126}{49}} = \sqrt{\frac{18}{7}} \approx 1,60$ unités de longueur.

Résultat final :

Le projeté orthogonal de $A(1, 3, 1)$ sur le plan $P : 2x - 3y + z = 0$ est le point $H\left(\frac{13}{7}, \frac{12}{7}, \frac{10}{7}\right)$.
La distance entre $A$ et le plan est d’environ 1,60 unités.

III. Un exercice utilisant une formule de calcul de distance d'un point à un plan

On peut démontrer en exercice que :

Si $P$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$ et $A$ est un point, la distance du point $A$ à $P$ est donnée par la formule : $d(A,P) = \dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Exemples :

Premier exemple :
Soit le plan $P$ d'équation $2x - y + z - 3 = 0$ et le point $A(1, 2, 3)$. Calculons la distance entre le point $A$ et le plan $P$.

Solution :

La formule pour la distance d’un point à un plan est :
$d(A,P) = \dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Ici, les coefficients de l'équation du plan sont :
$a = 2$, $b = -1$, $c = 1$, $d = -3$, et les coordonnées du point $A$ sont $(x_A, y_A, z_A) = (1, 2, 3)$.

Substituons dans la formule :
$d(A,P) = \dfrac{|2(1) - 1(2) + 1(3) - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}}$

Simplifions le numérateur :
$d(A,P) = \dfrac{|2 - 2 + 3 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}}$
$d(A,P) = \dfrac{|0|}{\sqrt{6}}$
$d(A,P) = 0$

Conclusion : La distance entre $A$ et $P$ vaut $0$, le point $A$ appartient au plan $P$ .

Deuxième exemple :
Soit le plan $P$ d'équation $2x - y + z - 3 = 0$ et le point $B(2, 3, 1)$. Calculons la distance entre le point $B$ et le plan $P$.

Solution

La formule pour la distance d’un point à un plan est :
$d(B,P) = \dfrac{|ax_B + by_B + cz_B + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Ici, les coefficients de l'équation du plan sont :
$a = 2$, $b = -1$, $c = 1$, $d = -3$, et les coordonnées du point $B$ sont $(x_B, y_B, z_B) = (2, 3, 1)$.

Substituons dans la formule :
$d(B,P) = \dfrac{|2(2) - 1(3) + 1(1) - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}}$

Simplifions le numérateur :
$d(B,P) = \dfrac{|4 - 3 + 1 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}}$
$d(B,P) = \dfrac{|-1|}{\sqrt{6}}$
$d(B,P) = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

Simplifiez davantage si nécessaire :
$d(B,P) = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$

Conclusion :
La distance entre le point $B(2, 3, 1)$ et le plan $P : 2x - y + z - 3 = 0$ est $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ unités.