Les représentations graphiques de deux fonctions peuvent être symétriques par rapport à la droite y = x. Cela permet d’en déduire certaines propriétés.
I. Fonction réciproque
Théorème : Si une fonction f est continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur un intervalle I = [a ; b], alors la fonction réciproque de f, notée f −1, est définie, continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur f(I) = [f(a) ; f(b)] (resp. [f(b) ; f(a)]).
Remarque : Ce théorème se généralise au cas où l’intervalle est ouvert, semi-ouvert, ou avec une borne infinie ; dans ce dernier cas, on remplace f(a) ou f(b) par limx→+ ∞fx ou limx→− ∞fx. D’une manière générale, on admettra que si f est continue et strictement monotone sur I, les intervalles I et f(I) sont de même nature.
Interprétation : Pour déterminer la fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I, il suffit d’exprimer x en fonction de y, à partir de y = f(x).
II. Représentation graphique d’une fonction réciproque
Théorème : Les courbes représentant deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Exemple : f : x ↦ x2 est continue et strictement croissante sur [0 ; + ∞[. f admet donc une fonction réciproque f−1 définie sur f([0 ; + ∞[) = [0 ; + ∞[. Or pour x ∈ [0 ; + ∞[, y=x2 ⇔x=y. Donc f−1:y↦y.
Méthode
Déterminer une fonction réciproque
Soit f la fonction définie sur ]−1 ; + ∞[ par f(x) = xex. On note C sa courbe représentative.
a. Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 sur ]−1 ; + ∞[.
b. Déterminer la tangente à C au point d’abscisse 0.
c. Tracer C dans un repère orthonormé et en déduire la courbe représentative de f −1.
Conseils
a. Pour montrer que f admet une fonction réciproque, appliquez le premier théorème. Vérifiez toutes les hypothèses de ce théorème :
• f est continue sur ]−1 ; + ∞[ ;
• f est strictement monotone sur ]−1 ; + ∞[.
b. Appliquez la formule donnant l’équation d’une tangente en un point.
c. Pour tracer la courbe représentant f −1, on fera une symétrie de C par rapport à la droite d’équation y = x, et on utilisera la tangente au point d’abscisse 0.
a. Les fonctions x ↦ x et x ↦ ex sont continues sur ℝ, f est donc continue sur ℝ, en particulier sur ]−1 ; + ∞[.
Pour montrer que f est strictement monotone sur ]−1 ; + ∞[, étudions le signe de sa dérivée. f est dérivable sur ]−1 ; + ∞[ comme produit de fonctions dérivables. Pour tout x ∈ ]−1 ; + ∞[, f ′(x) = ex + xex = (x + 1)ex. f′x est du signe de (x + 1) car ex > 0. Sur ]−1 ; + ∞[, x + 1 > 0, donc f est strictement croissante.
Ainsi, f est continue et strictement croissante sur ]−1 ; + ∞[. Elle admet une fonction réciproque f −1 définie sur ]f(−1) ; limx→+ ∞f(x)[=]e−1 ; + ∞[.
b. L’équation de la tangente à C au point d’abscisse 0 est
y=f′0x−0+f0, soit y = x.
c. Remarquons que le point d’abscisse 0 de C a pour ordonnée 0 et est donc sur la droite d’équation y = x. Les courbes représentatives de f et f −1 auront donc ce point en commun.
