Équation de droite et orthogonalité

I. Vecteur normal à une droite

Définition :
Un vecteur normal à une droite $(d)$ est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.

Propriété :
Soit une droite $(d)$ d’équation cartésienne : $ax + by + c = 0$
et $\vec{u}$ un vecteur directeur de $(d)$.

Le vecteur $\vec{n} (a, b)$ est un vecteur normal à $\vec{u}$.

Démonstration :

$\vec{n} \cdot \vec{u} = -b a + a b = 0$

II. Équation cartésienne d’une droite

Propriété :
Soit $(d)$ une droite de vecteur normal $\vec{n} (a, b)$, alors une équation cartésienne de $(d)$ s’écrit : $ax + by + c = 0$.

Démonstration :
Soit $A (x_A, y_A)$ et $M (x, y) \in (d)$, et $\overrightarrow{AM}$ un vecteur directeur de $(d)$.
$\vec{n} (a, b)$ est un vecteur normal de $(d)$, donc : $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$.

On a : $\overrightarrow{AM} = (x - x_A, y - y_A)$, donc :
$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = a (x - x_A) + b (y - y_A) = 0$.

Ce qui équivaut à : $ax + by - a x_A - b y_A = 0$.

On pose $c = -a x_A - b y_A$, donc on obtient bien : $ax + by + c = 0$.

Réciproque :
Si $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls, alors l’équation $ax + by + c = 0$ est l’équation d’une droite de vecteur normal $\vec{n} (a, b)$.

Démonstration :

$\circ$ Cas où $b \neq 0$ :
Soient les points $A (0, y_A)$ et $B (1, y_B)$ de la droite $d$, d’abscisses respectives $0$ et $1$.
On calcule alors :
$y_A = \dfrac{-c}{b}$ et $y_B = \dfrac{-a - c}{b}$.

On en déduit que $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(-a, b)$, c’est donc un vecteur directeur de la droite $d$.
Le vecteur $\vec{n} (a, b)$ est bien normal à $d$ car il est orthogonal à $\vec{u}$. En effet :
$\vec{u} \cdot \vec{n} = -b \times a + a \times b = 0$.

$\circ$ Cas où $a \neq 0$ et $b = 0$ :
La droite $d$ a pour équation $x = \dfrac{-c}{a}$, donc $d$ est verticale (parallèle à l’axe des ordonnées).
Le vecteur $\vec{u} (0, a)$ est un vecteur directeur de $d$.
Le vecteur $\vec{n} (a, 0)$ est orthogonal à $\vec{u} (0, a)$ car :
$\vec{u} \cdot \vec{n} = a \times 0 + 0 \times a = 0$.

Ainsi, $\vec{n}$ est bien un vecteur normal à $d$.

III. Exemples

Exemple 1

Déterminons les caractéristiques de l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $2x+3y+1=0$ (1).

Solution :
Il s'agit d'après la propriété précédente d'une droite dont un vecteur directeur est $\vec{u}(-3;2)$.
Cherchons les coordonnées d'un point appartenant à cette droite.
Prenons $x=-5$ et remplaçons cette valeur dans l'équation (1).
On obtient alors : $-10 + 3y + 1 = 0$ soit $3y-9=0$ et donc $y=3$.
Ainsi la droite passe par $A(-5;3)$.

Exemple 2

Déterminons une équation cartésienne de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1;2)$ passant par $A(-1;3)$.

Solution :
Une équation de $(d)$ est donc de la forme $-2x+y+c=0$.
Puisque $A \in (d)$ alors $-2×(-1)+3+c=0$ soit $5+c=0$ et $c=-5$.
Ainsi une équation cartésienne de $(d)$ est $-2x+y-5=0$.