Encadrement d’un irrationnel par balayage et algorithme

I. Méthode par essais (appelé encore dichotomie ou balayage)

Le mot dichotomie provient du grec dikhotomia qui siginifie (« division en deux parties »)

On teste des valeurs décimales successives jusqu’à trouver un encadrement correct.

Exemple : encadrer $\sqrt{2}$ à $10^{-2}$ près

• $1{,}4^2 = 1{,}96$

• $1{,}41^2 = 1{,}9881$

• $1{,}42^2 = 2{,}0164$

Donc : $1{,}41 \leq \sqrt{2} \leq 1{,}42$ avec $1,42-1,41=10^{-2}$.

Dans cet exemple, on a cherché un encadrement d’un nombre irrationnel à une certaine précision (par exemple $10^{-2}$), sans calculatrice.

II. Algorithme en langage naturel

Si on désire une meilleure précision, on peut effectuer un balayage à l'aide de la calculatrice, mais aussi effectuer un algorithme.

1. Initialisation :

   • Définir une fonction encadrer_racine_deux qui prend un entier n en entrée.

   • Initialiser deux variables a et b telles que $a=1$ et $b=2$.

2. Boucle de calcul :

   • Tant que $b−a>10^{−n}$ :

     • Calculer le milieu $m$ de l'intervalle $[a,b]$ : $m=\dfrac{a+b}{2}$​.

     • Si $m^2 <2$, alors $a=m$.

     • Sinon, $b=m$.

3. Résultat :

   • Retourner les valeurs de a et b qui encadrent $\sqrt 2$​ avec une amplitude inférieure ou égale à $10^{−n}$.

III. Algorithme en langage Python

Explication

• Initialisation : On commence avec un intervalle $[1,2]$ car on sait que $\sqrt 2$​ se trouve entre ces deux valeurs.

• Boucle de calcul : On utilise la méthode de dichotomie pour réduire progressivement l'intervalle. À chaque itération, on calcule le milieu de l'intervalle et on vérifie si le carré de ce milieu est inférieur ou supérieur à 2. Selon le résultat, on ajuste les bornes de l'intervalle.

• Résultat : Une fois que la différence entre les bornes de l'intervalle est inférieure ou égale à $10^{−n}$, on retourne les bornes de l'intervalle qui encadrent $\sqrt 2$​.

Cet algorithme est efficace et converge rapidement vers une valeur précise de $\sqrt 2$​.

En exécutant cet algorithme, vous obtiendrez un résultat similaire à ceci :

Encadrement de racine de 2 avec une amplitude inférieure ou égale à $10^{-4}$ : $[1.4142135623746897, 1.41421356237469]$

Pour $n=4$ , l'algorithme s'arrête lorsque la différence entre $</span>b$ et $</span>a$ est inférieure ou égale à $10^{-4}$ . Les valeurs de $a$ et $b$ seront très proches l'une de l'autre, mais elles seront affichées avec toutes les décimales disponibles

Dans cet exemple, l'amplitude de l'intervalle est effectivement inférieure à $10^{-4}$, même si les nombres sont affichés avec plus de décimales.