Différentes écritures d’un nombre complexe

Les nombres complexes ont été définis par leur forme algébrique. Mais tout nombre complexe non nul admet une autre forme, dite forme trigonométrique, qui permet de simplifier certains calculs dans $\text{ℂ}$.

Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct $\left(\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

I) Module et argument d’un nombre complexe non nul

Soit $z=a+\text{i}b$ avec $\left(a;b\right)\in {\text{ℝ}}^2$ un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe.

Le module du nombre complexe z, noté $\left(z\right)$, est le réel $\left(z\right)=\sqrt{a^2+b^2}=\text{OM}$.

Un argument du nombre complexe z est une mesure, en radians, de l’angle orienté de vecteurs $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{OM}}\right)$. On le note $\arg \left(z\right)$ et $\arg \left(z\right)=\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{OM}}\right)=\text{θ}$ à $2\text{π}$ près.

À noter

Si θ est un argument de z, alors θ + 2kπ (k entier relatif) est aussi un argument de z.

Cas particuliers :

$\arg \left(z\right)=0\iff z\in {\text{ℝ}}^{\ast }$

$\arg \left(z\right)=\frac{\text{π}}{2}\left(\text{π}\right)\iff z$ est imaginaire pur.

II) Forme trigonométrique et notation exponentielle

Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme :

$z=r\left(\cos \text{θ}+\text{i}\sin \text{θ}\right)$

où $r=\left(z\right)$ et θ est un argument de z. C’est la forme trigonométrique de z.

Si $z=r\left(\cos \text{θ}+\text{i}\sin \text{θ}\right)$ où r et θ sont deux réels avec r > 0, alors $r=\left(z\right)$ et θ est un argument de z.

En notant ${\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}=\cos \text{θ}+\text{i}\sin \text{θ}$, alors $z=r\left(\cos \text{θ}+\text{i}\sin \text{θ}\right)$ s’écrit :

$z=r{\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}$

C’est la notation exponentielle de z.

À noter

$\text{U}=\left({\text{e}}^{\text{i}\text{θ}},\text{θ}\in \text{ℝ}\right)$ est l’ensemble des nombres complexes de module 1.

Pour le point $\text{M}\left(z\right)$ du plan complexe : $z\in \text{U}\iff$ M est sur le cercle trigonométrique.

Conseils

Pour trouver la forme trigonométrique de z = a + ib où a et b sont des réels :

Étape 1 On calcule $\left(z\right)=$$r=\sqrt{a^2+b^2}$ (z ≠ 0 donc r ≠ 0).

Étape 2 On factorise l’expression par r : on a $z=r\left(\frac{a}{r}+\text{i}\frac{b}{r}\right)$.

Étape 3 On détermine un réel θ tel que $\cos \text{θ}=\frac{a}{r}$ et $\sin \text{θ}=\frac{b}{r}$.

À noter

z a pour argument $-\frac{\text{π}}{3}\in \left(-\text{π};\text{π}\right)$, mais aussi $-\frac{\text{π}}{3}+2\text{π}=\frac{5\text{π}}{3}\in \left(0;2\text{π}\right)$ par exemple.

2) Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

a. $z=\sqrt{3}\left(\cos \left(\frac{5\text{π}}{6}\right)+\text{i}\sin \left(\frac{5\text{π}}{6}\right)\right)$

b. $z^{\prime }=\sqrt{2}{\text{e}}^{\text{i}\frac{\text{π}}{4}}$

Conseils

Si $z=r{\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}=r\left(\cos \text{θ}+\text{i}\sin \text{θ}\right)$ avec r > 0, alors la forme algébrique de z est $z=a+\text{i}b$ avec $a=r\cos \text{θ}$ et $b=r\sin \text{θ}$.

Solution

a. $z = \sqrt{3} \big(\text{cos} (\frac{5 \pi}{6}) + \text{i}~\text{sin} (\frac{5 \pi}{6})\big)$

$= \sqrt{3} \big( -\frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2}\big)$

$= −\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$



b. $z' = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

$= \sqrt{2} \big(\text{cos} (\frac{\pi}{4}) + \text{i}~\text{sin} (\frac{\pi}{4})\big)$

$= \sqrt{2} \big(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= 1 + i$