Sous certaines conditions, si l’on connaît les dérivées de deux fonctions, il est possible de déterminer celle de leur somme, de leur composée.

I) Dérivée de x ↦ g(ax + b)

Théorème : Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction x ↦ g(ax + b) est dérivable sur I et a pour dérivée :

$x \mapsto a \times g^{'} (a x + b)$

Exemple : Déterminer la dérivée de k : $x \mapsto \sqrt{4 x - 5}$ .

k est définie si et seulement si 4x − 5 ≥ 0, soit $x ⩾ \frac{5}{4}$ , et est dérivable pour $x > \frac{5}{4}$ . k est de la forme x ↦ g(ax + b) avec $g (X) = \sqrt{X}$ et ax + b = 4x − 5. On a donc $k^{'} (x) = a \times g^{'} (a x + b) = 4 \times \frac{1}{2 \sqrt{4 x - 5}} = \frac{2}{\sqrt{4 x - 5}} .$

À noter
Pour calculer $g^{'} (a x + b),$ on calcule $g^{'} (X)$ et on remplace X par $a x + b$ .

II) Dérivée de x ↦ e^u⁽^x⁾

Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, de dérivée $u^{'} .$ La fonction x ↦ e^u⁽^x⁾ est dérivable sur I et a pour dérivée :

$x \mapsto u^{'} (x) \times e^{u (x)}$

Exemple : Déterminer la dérivée de f : x ↦ e³^x⁻⁵.

La fonction f est dérivable sur ℝ comme composée de fonctions dérivables. f est de la forme e^u, avec u(x) = 3x − 5, $u^{'} (x) = 3.$ Donc $f^{'} (x) = 3 e^{3 x - 5} .$

III) Dérivée de x ↦ u ²(x)

Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, de dérivée $u^{'} .$ La fonction x ↦ u²(x) est dérivable sur I et a pour dérivée :

_{$x \mapsto 2 u^{'} (x) u (x)$}

Exemple : Déterminer la dérivée de f : x ↦ (x² + x − 1)².

La fonction x ↦ x² + x − 1 est dérivable sur ℝ car c’est un polynôme. La fonction f est donc dérivable sur ℝ. f est de la forme u² avec u(x) = x² + x − 1, $u^{'} (x) = 2 x + 1.$ Donc $f^{'} (x) = 2 (2 x + 1) (x^{2} + x - 1) .$

À noter
Cette formule se généralise à x ↦ uⁿ(x), avec les mêmes hypothèses, et cette fonction a pour dérivée $x \mapsto n u^{'} (x) u^{n - 1} (x) .$

Méthode

Déterminer une fonction dérivée

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes en précisant l’intervalle sur lequel ces fonctions sont dérivables :

a. f : x ↦ (x² − 1)²

b. $g : x \mapsto (x + 1) e^{x^{2} + 1}$

c. $h : x \mapsto \sqrt{1 - 3 x}$

Conseil
L’expression de chaque fonction vous indique sa forme : selon le cas, appliquez la formule adéquate du cours.
a. La fonction x ↦ x² − 1 est dérivable sur ℝ car c’est une fonction polynôme, donc la fonction f est dérivable sur ℝ.
f est de la forme u² avec $u^{'} (x) = x^{2} - 1$ et $u^{'} (x) = 2 x .$ Or ${(u^{2})}^{'} = 2 u^{'} u,$ donc pour tout x réel, $f^{'} (x) = 2 (2 x) (x^{2} - 1) =$ 4x(x² − 1).

b. Les fonctions x ↦ x + 1 et x ↦ $e^{x^{2} + 1}$ sont dérivables sur ℝ donc g est dérivable sur ℝ par produit.

À noter
Nous avons ici à la fois une composée et un produit ! N’oubliez pas les règles générales de dérivation.

g est de la forme v × w avec v(x) = x + 1 et $w (x) = e^{x^{2} + 1}$ ; on a alors $v^{'} (x) = 1$ et il reste à déterminer la dérivée de w.

w est de la forme e^u avec u(x) = x² + 1 et $u^{'} (x) = 2 x$ . Or ${(e^{u})}^{'} = u^{'} e^{u}$ donc $w^{'} (x) = 2 x e^{x^{2} + 1}$ .

On en déduit que pour tout x de ℝ on a $g^{'} (x) = 1 \cdot e^{x^{2} + 1} + (x + 1) (2 x) e^{x^{2} + 1} = e^{x^{2} + 1} (1 + 2 x^{2} + 2 x)$ .

c. La fonction $x \mapsto 1 - 3 x$ est dérivable sur ℝ et est positive si et seulement si $1 - 3 x ⩾ 0 \Leftrightarrow - 3 x ⩾ - 1 \Leftrightarrow x ⩽ \frac{1}{3}$ .

La fonction h est donc dérivable sur $] - \infty; \frac{1}{3} [$ . h est de la forme g(ax+b) avec $g (x) = \sqrt{x}$ et ax + b = − 3x + 1. On a donc $h^{'} (x) = a g^{'} (a x + b) .$

Or $g^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}},$ donc pour tout x $\in] - \infty; \frac{1}{3} [, h^{'} (x) = - 3 \frac{1}{2 \sqrt{1 - 3 x}}$ .

Dérivées de fonctions composées

I) Dérivée de x ↦ g(ax + b)

II) Dérivée de x ↦ eu(x)

III) Dérivée de x ↦ u 2(x)

Méthode

Déterminer une fonction dérivée

II) Dérivée de x ↦ e^u⁽^x⁾

III) Dérivée de x ↦ u ²(x)