Dérivée de la fonction inverse et sens de variation

I. Rappel sur le taux de variation

Tu sais depuis la seconde que le taux de variation d’une fonction $f$ entre deux valeurs distinctes $x_1$ et $x_2$ est donné par la formule suivante :
$\text{Taux de variation} = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
Cette expression permet de mesurer l’évolution de la fonction entre deux valeurs de $x$.

II. Dérivée de la fonction inverse

En première, tu as vu quelques fonctions dérivées.

On admet que la fonction inverse $f$ telle que $f(x) = \dfrac{1}{x}$ admet pour dérivée $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

III. Sens de variation de la fonction inverse

Le signe de la dérivée $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ nous renseigne sur le sens de variation de la fonction.

• Pour $x > 0$, on a $f'(x) < 0$, ce qui signifie que la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est décroissante.

• Pour $x < 0$, on a aussi $f'(x) < 0$, ce qui signifie que la fonction est décroissante sur cet intervalle également.

En résumé, la fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition, c'est-à-dire pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

IV. Situation concrète : Calcul du coût unitaire et interprétation des variations

Enoncé :
Une entreprise produit des articles, et son coût unitaire $C(x)$ en fonction du nombre $x$ d’articles produits est donné par la fonction suivante :
$C(x) = \dfrac{500}{x}$
Étudiez les variations du coût unitaire lorsque le nombre d’articles $x$ varie.

Correction :

• La fonction $C(x) = \dfrac{500}{x}$ est définie pour $x > 0$.

• Sa dérivée est $C'(x) = -\dfrac{500}{x^2}$.

• Comme la dérivée est négative pour tout $x > 0$, la fonction $C$est décroissante sur cet intervalle. Cela signifie que lorsque l'entreprise produit plus d'articles, le coût par article diminue.