Courbe représentative et asymptotes

I. Tracé de la courbe de la fonction inverse

La courbe représentative de la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est une courbe qui décrit l'évolution de la fonction dans le plan. Elle se dessine sur l'ensemble de définition $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

• Pour $x > 0$, la courbe est située dans le premier quadrant, et elle est décroissante.

• Pour $x < 0$, la courbe est située dans le troisième quadrant, et elle est également décroissante.

Les points clés à retenir pour le tracé :

• Lorsque $x$ approche $0^+$, la fonction tend vers $+\infty$.

• Lorsque $x$ approche $0^-$, la fonction tend vers $-\infty$.

• Lorsque $x \to +\infty$, la fonction tend vers $0$.

• Lorsque $x \to -\infty$, la fonction tend aussi vers $0$.

Le tracé global de la fonction inverse est une hyperbole (qui se rapproche des axes sans jamais les toucher).

II. Asymptotes de la fonction inverse

La fonction inverse présente deux types d’asymptotes :

• Asymptote verticale : La fonction présente une asymptote verticale en $x = 0$. Cela signifie que la courbe s'approche de $x = 0$ mais ne peut jamais atteindre cette valeur. La fonction devient infinie lorsque $x$ approche $0$ par la droite ou par la gauche.

• Asymptote horizontale : La fonction présente une asymptote horizontale en $y = 0$. Cela signifie que lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, la fonction tend vers $0$, mais sans jamais l'atteindre.

Ces asymptotes nous aident à mieux comprendre le comportement global de la fonction à l’infini et près de $0$.

III. Situation concrète : Coût de production et approche asymptotique

Énoncé :
Une entreprise produit des articles, et son coût unitaire $C(x)$ en fonction du nombre $x$ d'articles produits est donné par : $C(x) = \dfrac{500}{x}$
Tracer la courbe représentative de cette fonction pour $x \in [1, 100]$ et interpréter les résultats.

Correction :

• Le coût unitaire $C(x)$ est une fonction inverse. On peut commencer par calculer quelques valeurs de $C(x)$ :

  • $C(1) = 500$,

  • $C(10) = 50$,

  • $C(100) = 5$.

• La courbe est décroissante, ce qui signifie que plus l'entreprise produit d'articles, plus le coût unitaire par article diminue.

• L'asymptote horizontale est en $y = 0$, ce qui montre que même si le nombre d'articles produits augmente, le coût unitaire ne pourra jamais atteindre zéro.

• L’asymptote verticale à $x = 0$ n’est pas atteinte, mais montre que si l'entreprise ne produit aucun article, le coût serait infiniment grand.