Densité de probabilité et variables aléatoires continues

Lorsqu’une variable aléatoire est continue, on calcule non pas la probabilité d’apparition d’une valeur donnée, mais celle de tomber dans un intervalle de valeurs.

I) Densité de probabilité

Définition : Une densité de probabilité est une fonction f définie sur ℝ, positive, continue par morceaux et telle que ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right)\text{d}t=1$.

Définition : Une fonction continue par morceaux est une fonction qui est continue sauf en un nombre fini de points.

Calcul de l’intégrale : Soit a un nombre quelconque, si $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{x}f\left(t\right)\text{d}t$ existe et est finie, de valeur ℓ₁ et si $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\int }_x^{a}f\left(t\right)\text{d}t$ existe et est finie de valeur ℓ₂ alors ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right)\text{d}t={\ell }_1+{\ell }_2$.

Graphiquement, l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1.

II) Loi d’une variable aléatoire continue

Définition : Soit f une densité de probabilité. Dire qu’une variable aléatoire X a pour loi la densité f signifie que pour tout x ∈ ℝ :

$P\left(X\text{⩽}x\right)=P\left(X<x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\text{d}t$

Dans ce cas on dit que X est une variable aléatoire continue.

Définition : La fonction F : x ↦ P(X ≤ x) s’appelle la fonction de répartition de X.

$P\left(a\text{⩽}X\text{⩽}b\right)=P\left(a<X<b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)={\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t$

En effet, P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X < a) = F(b) − F(a) et

$P\left(a\text{⩽}X\text{⩽}b\right)={\int }_{-\infty }^{b}f\left(t\right)\text{d}t-{\int }_{-\infty }^{a}f\left(t\right)\text{d}t={\int }_{-\infty }^{a}f\left(t\right)\text{d}t+{\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t-{\int }_{-\infty }^{a}f\left(t\right)\text{d}t={\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t.$

Conseils

1. et 2.f doit vérifier toutes les conditions que doit remplir une densité de probabilité.