Définitions et généralités : suites arithmétiques

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1. Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe $r \in \mathbb{R}$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + r$
Le nombre $r$ est appelé raison de la suite.

Exemple : La liste des entiers naturels non nuls : $1 - 2 - 3 - 4 - 5$ (avec $r = 1$) est la suite arithmétique de premier terme $1$ et de raison $1$.

Méthode :
Pour établir qu’une suite est arithmétique, on peut conjecturer en calculant $u_1 - u_0$, puis $u_2 - u_1$. Si on obtient à chaque fois le même nombre réel (la raison), alors la conjecture semble vraie. Mais il reste à le démontrer !

On calcule ensuite dans le cas général la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$, et on établit ainsi que cette différence est constante.

2. Terme général d’une suite arithmétique

Si l’on connaît la raison de la suite ainsi qu’un terme (ici, on prend le terme de rang $p$), alors nous pouvons calculer n’importe quel terme à partir de la formule suivante :

$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_p + (n - p)r}$

Remarque : dans la parenthèse devant la raison, apparaît tout simplement la différence des indices $n$ et $p$

En particulier :

• Si $p = 0$, on a : $u_n = u_0 + nr$

• Si $p = 1$, on a : $u_n = u_1 + (n - 1)r$

3. Somme des premiers termes

$S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{1er terme + dernier terme}}{2}$

En particulier, si $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$, il y a $(n + 1)$ termes, et alors :
$S_n = (n + 1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$

Exemple :
La somme des $n$ premiers entiers naturels est donnée par :
$1 + 2 + \dots + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}$