Définitions et Généralités : suites géométriques

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1. Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe $q \neq 0$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n \times q$
Le nombre $q$ est appelé raison de la suite.

Méthode :
Pour établir qu’une suite est géométrique, on peut conjecturer en calculant $\dfrac{u_1}{u_0}$, puis $\dfrac{u_2}{u_1}$.
Si on obtient à chaque fois le même nombre réel (la raison), alors la conjecture semble vraie.
On calcule ensuite dans le cas général le quotient de deux termes consécutifs : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, et on établit ainsi que ce quotient est constant.

Attention cependant : pour avoir le droit d'utiliser cette rédaction, il ne faut pas oublier de démontrer que tous les termes de la suite sont bien non nuls si cela n'est pas indiqué dans l'énoncé.

Une autre rédaction possible : une fois la recherche effectuée au brouillon, il est toujours possible pour éviter d'avoir des quotients de le rédiger en utilisant ce qu'on a découvert mais ainsi

Pour tout $n$, $u_{n+1}=\dots = \dots =\dots =q\times u_n$.

2. Terme général d’une suite géométrique

Si l’on connaît la raison de la suite ainsi qu’un terme (ici, on prend le terme de rang $p$), alors nous pouvons calculer n’importe quel terme à partir de la formule suivante :
$\forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_p \times q^{n - p}$

En particulier :

• Si $p = 0$, on a : $u_n = u_0 \times q^n$

• Si $p = 1$, on a : $u_n = u_1 \times q^{n - 1}$

3. Somme des premiers termes

$S = \text{1er terme} \times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$

En particulier :

• Si $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$, il y a $(n + 1)$ termes, et alors :
  $S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$

• Si $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$, il y a $n$ termes, et alors :
  $S_n = u_1 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$

Conseil : apprendre à compter les termes de la suite

Exemple :
Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $q \neq 1$, on a :
$1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$