Décrire le transport de masse et de volume par un fluide en mouvement

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Le débit

A) Expérience

On mesure le diamètre intérieur du vase. On calcule la section S.

On tare le bécher.

On ouvre la pince de Mohr et on laisse s’écouler l’eau.

On mesure le temps t mis pour faire écouler un volume V de liquide recueilli dans le bécher.

On ferme la pince.

On mesure la baisse de niveau h.

On calcule le volume V (V = S × h).

On pèse le bécher et son contenu.

On en déduit la masse m du liquide déplacé.

On peut alors calculer le débit Q et la vitesse d’écoulement v d’après les formules de la section suivante.

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B) Formules

Le débit volumique : Qv = Vt, avec Q en m3/s, V en m3 et t en s.

Le débit massique : Qm = mt, avec Q en kg/s, m en kg et t en s.

La vitesse moyenne : v = ht, avec v en m/s, h en m et t en s.

C) Relation entre le débit volumique, la section et la vitesse de l’écoulement

Q = Vt, avec V = S × h, donc Q = S×ht = S × v.

Le débit volumique Q dans une canalisation est donc lié à la section S et à la vitesse d’écoulement du fluide par l’équation :

Q = S × v, avec Q en m3/s, S en m² et v en m/s.

La conservation du débit

L’écoulement d’un fluide est dit permanent si le débit est constant :

Q1 = Q2 = S1 × v1 = S2 × v2 = constante.

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On appelle cette équation l’équation de conservation du débit (ou équation de continuité).

La section et la vitesse sont donc des grandeurs inversement proportionnelles :

S1 < S2 → v2 > v1.

L'équation de Bernoulli

Pour un fluide parfait (c’est-à-dire incompressible et dont les frottements sont négligeables), en régime permanent, l’énergie se conserve entre l’état 1 et l’état 2 (voir schéma) :

12 ρ ×  v12 + p1 + ρ × g × z1 = 12  ρ ×  v22 + p2 + ρ × g × z2

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avec :

ρ : la masse volumique du liquide en kg/m;

p1, p: la pression statique en Pa ;

v1 et v: la vitesse d’écoulement du fluide dans les sections S1 et S2 en m/s ;

z1, z: l’altitude des sections S1 et S2 en m ;

g : l’accélération de la pesanteur (en N/kg ou m/s²).

On a donc : 12 ρ (v12 v22) + (p1 – p2) + ρ × g (z1 – z2) = 0.

Les différentes parties de cette dernière formule correspondent aux différentes variations de pression :

la variation dynamique (12 ρ (v12 v22)) ;

la variation statique (p1 – p2) ;

la variation due à la différence d’altitude (ρ × g (z1 – z2)).