Cosinus et sinus d’un nombre réel

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L’enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique permet de définir le cosinus et le sinus d’un nombre réel, en lien avec le cosinus et le sinus d’un angle géométrique.

I. Définition et propriétés

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Soit xx un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique 𝒞 image de xx.
M a pour coordonnées (cos⁡x  ;  sin⁡x)\boxed{(\cos x\;;\;\sin x)}.
−1⩽cos⁡x⩽1-1\leqslant \cos x\leqslant 1 et −1⩽sin⁡x⩽1-1\leqslant \sin x\leqslant 1.
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos ^2x+\sin ^2x=1.
Les réels xx et x+2kπx+2k\pi ont pour image le même point de 𝒞. Donc pour tout entier relatif kk :
cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x et sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x\cos (x+2k\pi)=\cos x\text{ et }\sin (x+2k\pi)=\sin x
Les images des réels xx et −x-x sont deux points de 𝒞 symétriques l’un de l’autre par rapport à l’axe des abscisses :
cos⁡(−x)=cos⁡x et sin⁡(−x)=−sin⁡x\cos (-x)=\cos x\text{ et }\sin (-x)=-\sin x

II. Lien avec le triangle rectangle

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Si ABC est un triangle rectangle en A et si x est la mesure en radians de l’angle ABC^\widehat{ABC} (x∈[0  ;  π2])\left(x\in \left[0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right]\right) , alors :
cos⁡x=BABC et sin⁡x=ACBC\cos x=\dfrac{BA}{BC}\text{ et } \sin x=\dfrac{AC}{BC}

III. Valeurs remarquables

xx
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
cos⁡x\cos x
1
32\frac{\sqrt 3}{2}
22\frac{\sqrt 2}{2}
12\frac 12
0
–1
sin x
0
12\frac 12
22\frac{\sqrt 2}{2}
32\frac{\sqrt 3}{2}
1
0

Méthode

1)  Calculer cos x connaissant sin x et le signe de cos x, ou l’inverse

Conseil
Utilisez l’égalité cos2 x + sin2 x = 1 et tenez compte du signe de cos  x
a.) ou de celui de sin t
b.) donné dans l’énoncé
a. Soit xx un réel tel que sin⁡x=0,8\sin x=0,8 et cos⁡x>0\cos x\gt 0. Calculer cos⁡x\cos x.


b. Soit tt un réel tel que cos⁡t=2+22\cos t=\dfrac{2+\sqrt 2}{2} et sin⁡t<0\sin t\lt 0. Calculer sin⁡t\sin t.
 

Solution

a. cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos ^2x+\sin ^2x=1 donc cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos ^2x=1-\sin ^2x, soit cos⁡2x=1−0,82=0,36.\cos ^2x=1-0,8^2=0,36. Or cos⁡x>0\cos x\gt 0, donc cos⁡2x=0,36\cos ^2x=0,36, soit cos⁡x=0,6\cos x=0,6.

b. sin⁡2t=1−cos⁡2t\sin ^2t=1-\cos ^2t, donc sin⁡2t=1−(2+22)2\sin ^2t=1-\left(\dfrac{2+\sqrt 2}{2}\right)^2
sin⁡2t=1−2+24=2−24\sin ^2t=1-\dfrac{2+\sqrt 2}{4}=\dfrac{2-\sqrt 2}{4} . Or sin⁡t<0\sin t\lt 0, donc sin⁡t=−2−22\sin t=-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2}.

2)  Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique


a. Résoudre dans [–π ; π] l’équation cos⁡x=−32\cos x=-\dfrac{\sqrt 3}{2}.

b. Résoudre dans [–π ; π] l’inéquation cos⁡x⩽−32\cos x\leqslant -\dfrac{\sqrt 3}{2}.
Conseil
a. Sur le cercle trigonométrique 𝒞, repérer les points d’abscisse −32-\dfrac{\sqrt 3}{2} et calculer x à l’aide des valeurs remarquables ou de la calculatrice.
b. De même, repérer les points d’abscisse inférieure ou égale à −32-\dfrac{\sqrt 3}{2}.

Solution

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a. Il existe sur 𝒞 deux points distincts A et B d’abscisse −32-\dfrac{\sqrt 3}{2}. Dans [−π  ;  π][-\pi\;;\;\pi] ces points sont associés à −5π6-\dfrac{5\pi}{6} et 5π6\dfrac{5\pi}{6}, donc cos⁡x=−32\cos x=-\dfrac{\sqrt 3}{2} a pour solutions −5π6-\dfrac{5\pi}{6} et 5π6\dfrac{5\pi}{6}
b. Les réels x tels que cos⁡x⩽−32\cos x\leqslant -\dfrac{\sqrt 3}{2} sont ceux dont l’image appartient à l’arc AB^\widehat{AB} du cercle 𝒞.
C’est l’ensemble [−π  ;  −5π6]∪[5π6  ;  π]\left[-\pi\;;\;-\dfrac{5\pi}{6}\right]\cup \left[\dfrac{5\pi}{6}\;;\;\pi\right]
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Cercle trigonométrique. Mesure d’un angle
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Fonctions cosinus et sinus