Fonctions cosinus et sinus

En utilisant les outils associés aux fonctions, on étudie le comportement de cos x et de sin x lorsque x varie dans ℝ, sans référence systématique à la notion d’angle.

I) Fonction cosinus

La fonction cosinus est définies sur ℝ, c’est la fonction x ↦ cos x.

Pour tout réel x, cos(–x) = cos x, la fonction cosinus est une fonction paire, l’axe des ordonnées est axe de symétrie de sa courbe représentative.

Pour tout réel x, cos(x + 2π) = cos x, la fonction cosinus est périodique de période 2π, sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur $2\pi \overrightarrow{\text{OI}}$.

II) Fonction sinus

La fonction sinus est définies sur ℝ, c’est la fonction x ↦ sin x.

Pour tout réel x, sin(–x) = –sin x, la fonction sinus est une fonction impaire, l’origine du repère est centre de symétrie de sa courbe représentative.

Pour tout réel x, sin(x + 2π) = sin x, la fonction sinus est périodique de période 2π, sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur $2\pi \overrightarrow{\text{OI}}$.

Méthode

Conjecturer et démontrer la parité et la périodicité d’une fonction

On a représenté ci-dessous dans un repère orthogonal du plan, la fonction f définie sur ℝ par : f(x) = sin² x + cos(2x).

Conseil

a. Pour la parité, on s’intéresse aux  éventuelles symétries de la courbe. Pour la périodicité, on considère les abscisses des points de la courbe qui ont la même ordonnée.

b. Examinez la position relative, sur le cercle 𝒞, des points images des réels x et x + π.

c. Pour la parité, comparez, pour tout réel x, f(x) et f(–x). Pour la périodicité, comparez f(x) et f(x + p), où p est la période conjecturée au a.

a. Conjecturer la parité et la périodicité de la fonction f.

b. À l’aide du cercle trigonométrique 𝒞, justifier que, pour tout réel x :

cos(x + π) = –cos x et sin(x + π) = –sin x.

c. Prouver les conjectures émises à la question a.

Solution

a. L’axe des ordonnées semble être axe de symétrie de la courbe et pour tout réel x, les points d’abscisses x et x + π semblent avoir la même ordonnée. On conjecture que f est une fonction paire périodique de période π.

b. Sur le cercle trigonométrique 𝒞, les points images des réels x et x + π sont diamétralement opposés, donc leurs coordonnées sont opposées, donc cos(x  + π) = –cos x et sin(x + π) = –sin x.

c. Pour tout réel x, f(–x) = [sin(–x)]² + cos[2 × (–x)] = (–sin x)² + cos(–2x), donc, la fonction cosinus étant paire, f(–x) = sin² x + cos(2x).

Donc, pour tout réel x, f(–x) = f(x) et f est une fonction paire.

Pour tout réel x, f(x + π) = [sin(x + π)]² + cos[2 × (x + π)].

D’après l’un des résultats de la question b. :

f(x + π) = (–sin x)² + cos(2x + 2π).

Comme la fonction cosinus est périodique de période 2π :

f(x + π) = (sin x)² + cos(2x).

Donc, pour tout réel x, f(x + π) = f(x) et f est périodique de période π.

Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 20 à 22.