Comparer des nombres : les inégalités

I - Comparaison de deux nombres relatifs en calculant leur différence

Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs :

Si $a - b > 0$, alors $a > b$
Si $a - b = 0$, alors $a = b$
Si $a - b < 0$, alors $a < b$

👉 A retenir

Pour comparer deux nombres, on peut donc étudier le signe de leur différence.

Exemple :

$\dfrac{10}{7}$ est-il plus grand que $\dfrac{5}{3}$ ?

On calcule $\dfrac{10}{7} - \dfrac{5}{3}$

$\dfrac{10}{7} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{10 \times 3}{7 \times 3} - \dfrac{5 \times 7}{3 \times 7}$

$\phantom{\dfrac{10}{7} - \dfrac{5}{3}}= \dfrac{30}{21} - \dfrac{35}{21}$

$\phantom{\dfrac{10}{7} - \dfrac{5}{3}}= \dfrac{30-35}{21}$

$\phantom{\dfrac{10}{7} - \dfrac{5}{3}}= \dfrac{-5}{21}$

$\dfrac{10}{7} - \dfrac{5}{3} < 0$ donc $\dfrac{10}{7} < \dfrac{5}{3}$

Conclusion : $\dfrac{10}{7}$ est plus petit que $\dfrac{5}{3}$.

II - Ordre et opérations

1. Ordre avec l'addition et la soustraction

L'addition ou la soustraction de deux nombres avec le même nombre ne changent pas l'ordre.

👉 A retenir :

Soient $a, b$ et $c$ trois nombres relatifs :

Si $a > b$, alors $a + c > b + c$ et $a - c > b - c$
Si $a < b$, alors $a + c < b + c$ et $a - c < b - c$

Exemples :

1. Si $x-7 > -2$ alors $x-7+7 > -2+7$ donc $x > 5$

2. Si $2-x \leq 4$ alors $2-x+x \leq 4+x$
   soit $2 \leq 4+x$ alors $2-4 \leq 4+x-4$ soit $-2 \leq x$ c'est-à-dire $x \geq -2$

Conclusion : Si $2-x \leq 4$ alors $x \geq -2$.

2. Ordre avec la multiplication

👉 A retenir :

La multiplication de deux nombres avec le même nombre strictement positif ne change pas l'ordre.
⚠️ La multiplication de deux nombres avec le même nombre strictement négatif inverse l'ordre.

Soient $a, b$ et $c$ trois nombres relatifs :

Si $a > b$ et $c > 0$, alors $ac > bc$
Si $a < b$ et $c > 0$, alors $ac < bc$
Si $a > b$ et $c < 0$, alors $ac < bc$
Si $a < b$ et $c < 0$, alors $ac > bc$

Exemples :

1. Si $3x \geq 12$ alors $3x \times \dfrac{1}{3} \geq 12 \times \dfrac{1}{3}$ soit $\dfrac{3x}{3} \geq \dfrac{12}{3}$ c'est-à-dire $x \geq 4$

2. Si $7x > -4$ alors $7x \times \dfrac{1}{7}>-4 \times \dfrac{1}{7}$ soit $\dfrac{7x}{7}>\dfrac{-4}{7}$ c'est-à-dire $x > -\dfrac{4}{7}$

3. Si $-4x \geq 8$ alors $-4x \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) \leq 8 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right)$ (on inverse le signe $\geq$ en $\leq$ car on multiplie les membres de l'inégalité par $-\dfrac{1}{4}$ qui est un nombre négatif)

On a donc : $\dfrac{-4x \times (-1)}{4} \leq \dfrac{8 \times (-1)}{4}$ soit $x \leq -2$

Conclusion : Si $-4x \geq 8$ alors $x \leq -2$

3. Encadrement d'un nombre à partir d'une valeur approchée

a) A partir d'une troncature

Une troncature d'un nombre décimal est obtenue en supprimant ses décimales à partir d'un certain rang.

Exemples :
5,4 est la troncature au dixième de 5,456108
0,33 est la troncature au centième de $\dfrac{1}{3}$

On peut donner un encadrement d'un nombre dont on connaît une troncature.

Exemples :
$a$ est un nombre dont la troncature au dixième est 3,4
Sur l'axe gradué, on colorie en vert les points possibles où peut se trouver $a$ :

Ceci se traduit par l'inégalité $3,4 \leq a < 3,5$

De même, si un nombre $b$ a 1,10 comme troncature au centième, on déduit que
$1,10 \leq b < 1,11$

b) A partir d'un arrondi

Un arrondi d'un nombre décimal est le nombre décimal le plus proche comportant un nombre de décimales choisi.

Exemples :
5,1 est l'arrondi au dixième de 5,14212
5,2 est l'arrondi au dixième de 5,1675
0,67 est l'arrondi au centième de $\dfrac{2}{3}$

On peut donner un encadrement d'un nombre dont on connaît un arrondi.

Exemples :

$c$ est un nombre dont l'arrondi au dixième est 2,4
Sur l'axe gradué, on colorie en vert les points possibles où peut se trouver $c$ :

Ceci se traduit par l'inégalité $2,35 \leq c < 2,45$

De même, si un nombre $d$ a 1,10 comme arrondi au centième, on déduit que $1,095 \leq d < 1,105$

III. Comparer deux nombres positifs en utilisant leur quotient

Comparer deux nombres positifs en utilisant leur quotient revient à diviser l’un par l’autre et à étudier le résultat.

👉 A retenir :

Soient $a$ et $b$ deux nombres strictement positifs. ⚠️

Si $\dfrac{a}{b} > 1$, alors $a > b$.

Si $\dfrac{a}{b} = 1$, alors $a = b$.

Si $\dfrac{a}{b} < 1$, alors $a < b$.

Exemple :
Comparer $\dfrac{17}{24}$ et $\dfrac{21}{30}$

On calcule le quotient $\dfrac{\dfrac{17}{24}}{\dfrac{21}{30}} = \dfrac{17}{24} \times \dfrac{30}{21} = \dfrac{17 \times 30}{24 \times 21} = \dfrac{510}{504}$

Comme $510 > 504$, $\dfrac{510}{504} > 1$, on en déduit que $\dfrac{17}{24} > \dfrac{21}{30}$

Ainsi, $\dfrac{17}{24}$ est légèrement plus grand que $\dfrac{21}{30}$, ce que l’on n’aurait pas forcément vu directement.

IV. Somme de deux inégalités de même sens

Lorsqu’on connaît plusieurs inégalités, on peut les additionner membre à membre pour en déduire une nouvelle. C’est ce qu’on appelle la somme d’inégalités.

👉 A retenir :

Si $a \leq b$ et $c \leq d$, alors on peut écrire $a + c \leq b + d$.

Cette propriété est très utile pour encadrer une somme ou résoudre certaines inéquations.

⚠️ Les deux inégalités doivent être de même sens

Exemple :
On sait que $2 \leq x \leq 5$ et $-1 \leq y \leq 3$
En ajoutant les deux inégalités, on obtient :
$2 + (-1) \leq x + y \leq 5 + 3$
soit $1 \leq x + y \leq 8$
On a donc encadré la somme $x + y$ entre 1 et 8.