Chute verticale d'un solide dans un fluide

I. Rappels

1. Force de pesanteur et champ de pesanteur

• La force de pesanteur ou poids $\overrightarrow{P}$ est la force d'attraction exercée par la Terre sur un corps de masse $m$ placé à son voisinage :

  $\boxed{\overrightarrow{P} = m \cdot \overrightarrow{g}}$

• $\overrightarrow{g}$ est le vecteur champ de pesanteur ou le vecteur accélération de la pesanteur. Il dépend de l'altitude et de la latitude où l'on se trouve. Sur Terre, dans une région de l'espace de quelques kilomètres de long, de large et de haut, le vecteur champ de pesanteur $\overrightarrow{g}$ est un vecteur constant : on parle de champ de pesanteur uniforme.

• À chaque instant $t$, ce vecteur a :

  $\circ\quad$ Un même sens (vers le bas) ;

  $\circ\quad$ Une même direction (verticale) ;

  $\circ\quad$ Et une même norme (valeur de l'intensité de la pesanteur $g$).

2. Poussée d'Archimède

• Définition :

  $\quad\circ\quad$ Tout corps plongé dans un fluide incompressible et au repos$^{\textcolor{purple}{\text{(*)}}}$, subit une force verticale, dirigée vers le haut, qui est l'opposé du poids du fluide déplacé : cette force est appelée poussée d'Archimède. Elle correspond à la résultante des forces de pression que le fluide exerce sur le corps.

  $\quad\circ\quad$ Dans le cas d'un fluide homogène (masse volumique constante), la poussée d'Archimède $\overrightarrow{\Pi}$ (ou $\overrightarrow{P_A}$) s'écrit :

  $\overrightarrow{\Pi} = - \overrightarrow{P}_{\text{fluide déplacé}} = - m' \cdot \overrightarrow{g}$

  $\Leftrightarrow \boxed{\overrightarrow{\Pi}= - \rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot \overrightarrow{g}}$

  (par définition de la masse volumique)

  $\quad\circ\quad$ Sa valeur est donnée par :

  $\boxed{\Pi = \rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g}$

  avec :

  $\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{\Pi}$ : poussée d'Archimède subie par le corps (en $N$) ;

  $\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{P}_{\text{fluide déplacé}}$ : poids du volume de fluide déplacé (pour plonger le corps) ;

  $\quad\circ\quad$ $\rho_{\text{fluide}}$ : masse volumique du fluide (en $kg/m^3$) ;

  $\quad\circ\quad$ $V_{\text{immergé}}$ : volume de la partie immergée du corps (en $m^3$) ;

  $\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{g}$ : accélération de la pesanteur (supposée uniforme), en $m.s^{-2}$.

  $^{\textcolor{purple}{\text{(*) dans un champ de pesanteur uniforme}}}$

• $\textcolor{red}{\text{ATTENTION !}}$

  $\quad\circ\quad$ Le principe d'Archimède s'applique aux corps complètement immergés, mais pas toujours aux corps qui ne sont que partiellement immergés. C'est ainsi qu'il s'applique aux corps qui flottent dans un liquide. Mais il n'est pas valable dans le cas du bouchon d'un lavabo rempli !

  $\quad\circ\quad$ La poussée d'Archimède dépend de la masse volumique du fluide, et non pas de celle du corps. Ainsi un même volume immergé d'acier et de bois subiront la même poussée d'Archimède (s'ils sont plongés dans le même fluide).

• Remarques :

  $\quad\circ\quad$ Le principe d'Archimède se démontre aujourd'hui à l'aide des lois de la physique : il est donc aussi appelé le théorème d'Archimède.

  $\quad\circ\quad$ Il s'applique à tous les fluides et donc aussi aux gaz.

  $\quad\circ\quad$ L'expression vectorielle est tout le temps la même car $\overrightarrow{\Pi}$ et $\overrightarrow{g}$ sont tout le temps opposés. En revanche, l'expression algébrique dépend du choix du sens de l'axe.

3. Les forces de frottement

• L'expression de la force de frottement dépend :

  $\circ\quad$ De la vitesse du solide ;

  $\circ\quad$ De la nature du fluide ;

  $\circ\quad$ De la forme et de la dimension du solide ;

  $\circ\quad$ De l'état de la surface du solide.

• Pour des vitesses très faibles, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - k \cdot \overrightarrow{v}}$

• Remarque : $\overrightarrow{f}$ et $\overrightarrow{v}$ sont de sens contraires.

• Lorsque les vitesses sont élevées, la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - k' \cdot v \cdot \overrightarrow{v}}$

• Remarque : il existe des cas particuliers comme celui de la sphère lisse. Dans ce cas précis, on utilise la relation de Stokes :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - 6 \pi \cdot R \cdot \eta \cdot \overrightarrow{v}}$

  avec

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{f}$ en $N$ ;

  $\circ\quad$ $R$ le rayon en $m$ ;

  $\circ\quad$ $\eta$ le coefficient de viscosité en $N.s.m^{-2}$ ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{v}$ en $m.s^{-1}$.

II. Chute dans un fluide

1. Étude préliminaire du mouvement : régimes et vitesse limite

• Système : une balle de masse $m$ et de centre d'inertie $G$.

• Référentiel : le laboratoire, référentiel terrestre supposé galiléen.

• Bilan des forces :

  $\circ\quad$ Le poids du système ($\overrightarrow{P}$) ;

  $\circ\quad$ La poussée d'Archimède ($\overrightarrow{\Pi}$) exercée par le fluide sur le système ;

  $\circ\quad$ Les frottements exercés par le fluide sur le système ($\overrightarrow{f}$).

• Schéma de la situation :

• On se propose d'étudier le mouvement. Il peut se décomposer en deux phases.

  $\circ\quad$ 1^re phase : la vitesse initiale est nulle. Lorsqu'on lâche le système, la vitesse augmente (ici $v \neq cste$). Le mouvement est donc rectiligne accéléré.

  Au fur et à mesure, les frottements augmentent car la force de frottement est liée à la vitesse.

  $\circ\quad$ 2^e phase : lorsque $\overrightarrow{f}$ augmente, à un moment donné on a :

  $\overrightarrow{f} + \overrightarrow{\Pi} = - \overrightarrow{P}$

  Dans ce cas là, on peut appliquer le principe d'inertie : si $\displaystyle \sum \overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{0}$ alors $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{cste}$. Le mouvement est donc rectiligne uniforme.

  $\circ\quad$ Synthèse : la vitesse de la balle augmente jusqu'à une valeur limite. Une fois que cette vitesse limite est atteinte, le mouvement est rectiligne uniforme.

• Définitions :

  $\circ\quad$Le régime transitoire est la période durant laquelle la vitesse de la bille augmente.

  $\circ\quad$Le régime permanent est la période durant laquelle la vitesse de la bille est constante.

• Remarque :

  $\circ\quad$En régime permanent, lorsque la vitesse de la bille est constante :

  $\dfrac{dv}{dt} = 0$

  Donc

  $\displaystyle a\cdot v_{lim} + b = 0$

  $\Leftrightarrow v_{lim} = \dfrac{-b}{a}$ (si $f = k \cdot v$)

  $\circ\quad$Si $f = k\cdot v^2$ alors de la même manière $\displaystyle v_{lim} = \sqrt{\dfrac{-b}{a}}$.

2. Établissement de l'équation différentielle

• L'axe $(Oz)$ est un axe qui va nous permettre de modéliser l'équation différentielle du mouvement. Le vecteur $\vec{k}$ est un vecteur unitaire.

• Dans le cas où la force de frottement est proportionnelle à la vitesse : $f = k \cdot v$.

• Le référentiel étant galiléen, on peut appliquer la seconde loi de Newton :

$\displaystyle \sum \overrightarrow{F_{ext}} = m \cdot \overrightarrow{a}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{P} + \overrightarrow{\Pi} + \overrightarrow{f} = m \cdot \overrightarrow{a}$

$\Leftrightarrow m \cdot \overrightarrow{g} - m' \cdot \overrightarrow{g} - k \cdot \overrightarrow{v} = m \cdot \dfrac{d \overrightarrow{v}}{dt}$

• On projette suivant l'axe $(Oz)$ en prenant garde aux signes (si le vecteur est dans le sens de l'axe, la composante du vecteur est positive et inversement) :

$m \cdot g - m'\cdot g - k \cdot v = m \cdot a$

$\Leftrightarrow m \cdot g - m' \cdot g - k \cdot v = m \cdot \dfrac{dv}{dt}$

$\Leftrightarrow -k \cdot v + g \cdot (m - m') = m \cdot \dfrac{dv}{dt}$

$\boxed{\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{-k}{m} \cdot v + g \cdot \dfrac{m - m'}{m}}$

• On pose $a = \dfrac{-k}{m}$ et $b = g \cdot \left(\dfrac{m - m'}{m}\right)$. On on obtient ainsi :

$\boxed{\dfrac{dv}{dt} = a \cdot v + b}$

• Remarque : ^pour de grandes vitesses, $f = k' \cdot v^2$. On aura donc l'équation différentielle suivante :

  $\boxed{\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{-k'}{m} \cdot v^2 + g \cdot \dfrac{m - m'}{m}}$

  ou encore sous la forme simplifiée

  $\boxed{\dfrac{dv}{dt} = a' \cdot v^2 + b'}$

3. Résolution par la méthode d'Euler d'une équation différentielle

• L'approximation d'une primitive grâce à la méthode d’Euler, pour construire une courbe pas à pas à partir de la dérivée d'une fonction par rapport au temps, a été abordée en classe de première dans la fiche de cours suivante :

Approximation d’une primitive : méthode d’Euler

• Pour rappel, la méthode d'Euler est une résolution théorique d'une équation différentielle. On considère que l'intervalle de temps est fini et on nomme cet intervalle $\Delta t$ le pas. C'est une méthode itérative, c'est-à-dire qu'on a besoin de la vitesse au point 0 pour pouvoir calculer la vitesse au point $1$. On peut utiliser la méthode d'Euler pour tracer la courbe de la vitesse en fonction du temps ou l'accélération en fonction du temps.

• Prenons la modélisation avec $f = k \cdot v$

  $\circ\quad$ On a $\dfrac{dv}{dt} = a \cdot v + b$

  $\circ\quad$ La dérivée de la vitesse par rapport au temps n'est autre qu'un taux de variation avec un temps se rapprochant de $0$. Donc :

  $\displaystyle \dfrac{dv}{dt} = a \cdot v + b$

  $\Leftrightarrow \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = a \cdot v + b$

  $\Leftrightarrow \Delta v = (a \cdot v + b) \times \Delta t$

  $\Leftrightarrow v_{t+1} - v_t = (a \cdot v + b) \times \Delta t$

  $\Leftrightarrow v_{t+1} = (a \cdot v + b) \times \Delta t + v_t$

  $\Leftrightarrow \boxed{v_{t+1} = (a \cdot v + b) \times \Delta t + v_t}$

  $\circ\quad$ Avec cette relation, on peut connaître la vitesse à un instant $t+1$ en connaissant la vitesse à l'instant $t$.

_{= Merci à Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}