Introduction
Dans la vie courante comme en informatique, il arrive que l’on doive prendre une décision rapidement, sans analyser toutes les possibilités. L’algorithme glouton illustre cette logique : à chaque étape, on choisit la solution qui semble la meilleure localement, dans l’espoir qu’elle conduise à une solution globale satisfaisante. Cette méthode, simple à concevoir et souvent efficace, est utilisée dans de nombreux contextes comme le rendu de monnaie, la gestion de ressources ou certains problèmes d’optimisation en réseaux. Elle permet d’aborder concrètement la notion de stratégie algorithmique et d’en mesurer les limites.
Principe des algorithmes gloutons
Un algorithme glouton repose sur une idée fondamentale : faire à chaque étape le choix localement optimal. Cela signifie que, plutôt que d’examiner toutes les possibilités comme le ferait une recherche exhaustive, il se contente de prendre la meilleure décision immédiate et poursuit jusqu’à obtenir une solution complète.
Exemple : imaginons que tu veuilles rendre 87 centimes en pièces avec le moins de pièces possible. Un algorithme glouton choisira toujours la plus grande pièce disponible qui n’excède pas le montant restant : d’abord 50, puis 20, puis 10, puis 5, puis 2. On obtient ainsi une solution rapide, avec un nombre réduit de pièces.
Cette approche fonctionne bien dans de nombreux cas, mais elle ne garantit pas toujours d’obtenir la meilleure solution globale. L’efficacité d’un algorithme glouton dépend donc du problème traité et de sa structure mathématique.
À retenir
Un algorithme glouton choisit toujours la meilleure option locale immédiate. Il est rapide à mettre en œuvre mais n’assure pas nécessairement la solution optimale.
Exemples classiques d’algorithmes gloutons
Pour bien comprendre, observons quelques situations typiques où les algorithmes gloutons s’appliquent.
Le rendu de monnaie
Lorsqu’un commerçant doit rendre la monnaie, il cherche souvent à donner le moins de pièces possible. L’algorithme glouton choisit la pièce de plus grande valeur qui n’excède pas le montant restant, puis recommence jusqu’à atteindre la somme exacte. En euros, cette méthode donne toujours une solution optimale grâce à la structure du système monétaire.
Le problème du sac à dos (version simplifiée ou fractionnaire)
Supposons qu’un sac ait une capacité limitée et qu’il faille y placer des objets de valeurs différentes. Une version gloutonne consiste à trier les objets selon leur rapport valeur/poids, puis à remplir le sac en choisissant ceux qui maximisent ce rapport. Cela permet d’obtenir une solution efficace dans la version fractionnaire (où l’on peut prendre une partie d’un objet), même si elle n’est pas toujours la meilleure possible dans la version entière.
Exemple chiffré : imaginons un sac de capacité 10 kg et trois objets :
Objet A : 6 kg pour une valeur de 30.
Objet B : 3 kg pour une valeur de 14.
Objet C : 4 kg pour une valeur de 16.
Le rapport valeur/poids est de 5 pour A, 4,67 pour B et 4 pour C. L’algorithme glouton prend d’abord A (6 kg), puis B (3 kg), et il reste 1 kg à combler. Comme il s’agit de la version fractionnaire, on peut prendre un quart de C, ce qui ajoute une valeur de 4. La valeur totale est donc 48. Ce raisonnement donne une solution rapide, mais dans la version entière (où l’on ne peut pas fractionner les objets), la meilleure solution pourrait être différente et nécessiter une analyse plus complexe.
Les réseaux et graphes
Dans certains problèmes de graphes, les algorithmes gloutons sont performants. Par exemple, pour trouver un arbre couvrant de poids minimal (connecter toutes les villes d’un réseau avec le moins de routes possible), l’algorithme de Kruskal ou de Prim applique une logique gloutonne en ajoutant à chaque étape l’arête la moins coûteuse qui ne crée pas de cycle. La preuve mathématique de l’optimalité de ces deux algorithmes dépasse le niveau de Première, mais leur principe illustre bien la démarche gloutonne : toujours choisir l’option locale la plus économique.
À retenir
Le rendu de monnaie, le sac à dos fractionnaire et les arbres couvrants sont des exemples où les algorithmes gloutons donnent des solutions rapides. Certains cas garantissent une solution optimale, d’autres seulement une approximation.
Avantages et limites des algorithmes gloutons
La simplicité des algorithmes gloutons explique leur succès. Ils sont rapides à écrire, faciles à comprendre et efficaces en pratique pour beaucoup de problèmes. Leur complexité est souvent linéaire ou quadratique, ce qui les rend utilisables même avec de grandes quantités de données.
Cependant, leur principale limite réside dans l’absence de garantie d’optimalité. Le choix localement optimal peut conduire à une impasse ou à une solution inférieure à celle obtenue par une autre méthode, comme la programmation dynamique ou la recherche exhaustive. Dans le problème du sac à dos entier par exemple, une sélection gloutonne peut laisser de côté des combinaisons d’objets plus avantageuses.
En informatique, il est donc essentiel de savoir identifier les situations où la méthode gloutonne fonctionne parfaitement et celles où elle doit être complétée ou remplacée par d’autres stratégies.
À retenir
Les algorithmes gloutons sont rapides et simples mais ne garantissent pas toujours l’optimalité. Ils sont à privilégier lorsque le problème possède une structure adaptée, mais il faut rester conscient de leurs limites.
Conclusion
Les algorithmes gloutons incarnent une stratégie séduisante : choisir toujours le meilleur à court terme en espérant obtenir le meilleur à long terme. Leur force est leur simplicité et leur efficacité dans des problèmes bien structurés comme le rendu de monnaie ou les graphes. Mais ils rappellent aussi une leçon essentielle en informatique : une solution intuitive n’est pas toujours la meilleure, et seule l’analyse rigoureuse d’un problème permet de savoir si la méthode est adaptée. Dans les prochaines étapes du programme, d’autres méthodes comme la programmation dynamique permettront de dépasser ces limites et de viser des solutions optimales.