Calculs de primitives

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La recherche d’une primitive d’une fonction est l’opération ­inverse de la dérivation.

I) Primitives usuelles

On déduit du tableau des dérivées, le tableau des primitives usuelles.

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II) Opérations et composition

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

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Exemple : f:x2x1x2x admet pour primitive ↦ ln|x2 - x| sur tout intervalle ne contenant ni 0 ni 1.

Méthode

Déterminer des primitives

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

a. fx=2x3+3x, pour tout ∈ ]0 ; + ∞[ ;

b. gx=x1+x2, pour tout ∈ ℝ.

Conseils

Étape 1 Justifiez l’existence des primitives.

Étape 2 Déterminez s’il s’agit d’une primitive de référence ou reconnaissez uneopération ou une fonction composée (dans ce cas, définir u et exprimer u′). Concluez.

a. Étape 1 La fonction f est continue sur ]0 ; + ∞[ comme somme de fonctions continues ; elle y admet donc des primitives.

Étape 2 x    x44 est une primitive de ↦ x3, et ↦ lnx est une primitive de x1x sur ]0 ; + ∞[ ; donc les primitives de f sur ]0 ; + ∞[ sont de la forme Fx=2×x44+3lnx+C= x42+3lnx+C, où C est une constante réelle.

b. Étape 1 La fonction g est continue sur ℝ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas ; elle admet donc des primitives sur ℝ.

Étape 2 Posons (x) =1 + x2. La fonction u est dérivable sur ℝ et ux=2x.

Pour tout ∈ ℝ, gx=12×2x1+x2=12uxux, avec pour tout réel x, u(x) = 1 + x2 > 0.

Donc les primitives de g sur ℝ sont de la forme G(x)=12ln1+x2+CC est une constante réelle.