On connaît la forme des solutions des équations différentielles y ′ = ay + b où a et b sont des constantes, ce qui n’est pas le cas pour la plupart des autres équations.

I) Équation différentielle y ′ = ay, a réel

Les solutions sur ℝ de l’équation différentielle $y^{'} = a y$ sont les fonctions de la forme :

x ↦ Ce^ax, où C est une constante réelle

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II) Équation différentielle y ′ = ay + b, a réel non nul, b réel

Les solutions sur ℝ de l’équation différentielle $y^{'} = a y + b$ sont les fonctions de la forme :

_{$x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a},$} où C est une constante réelle

À noter
Lorsque b = 0, on retrouve le cas précédent.

III) Équation logistique

Une équation logistique est une équation différentielle de la forme $y^{'} = k y (m - y)$ , où k et m sont des réels strictement positifs.

Elle se résout par un changement de la fonction variable, qui permet de se ramener à une équation différentielle de la forme $y^{'} = a y + b$ .

Le modèle logistique, dû à Pierre François Verhulst, permet de modéliser l’évolution de certaines populations.

À noter
Dans les exercices, le changement de la fonction variable est systématiquement donné, il n’est pas à trouver.

Méthode

Résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = ay + b

On considère l’équation différentielle $(E) : 2 y^{'} + y = 0.$

1. Déterminer les solutions de (E) sur ℝ.

2. Déterminer la (ou les) solution(s) éventuelle(s) de (E) vérifiant la condition précisée dans chacun des cas suivants :

a. f(1) = 1

b. f(2) = (f(1))²

c. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

Conseils

1. On se ramène à la forme y′ = ay + b ; c’est alors une question de cours.

2. Exprimez la contrainte par une condition sur la constante C de la solution générale.

1. y solution de $(E) \Leftrightarrow y^{'} = - \frac{1}{2} y .$ Donc $S$ $= (x \mapsto C e^{- \frac{x}{2}}, C \in ℝ)$ .

2. f est solution de (E) donc f est de la forme $f (x) = C e^{- \frac{x}{2}}$ avec C ∈ ℝ.

a. $f (1) = 1 \Leftrightarrow C e^{- \frac{1}{2}} = 1 \Leftrightarrow C = e^{\frac{1}{2}} .$ Donc l’unique fonction f solution de (E) vérifiant f (1) = 1 est définie par $f_{0} (x) = e^{\frac{1}{2}} \times e^{- \frac{x}{2}}$ et $S$ $= (f_{0} : x \mapsto e^{\frac{1 - x}{2}})$ .

b. $f (2) = {(f (1))}^{2}$ $\Leftrightarrow C e^{- 1} = {(C e^{- \frac{1}{2}})}^{2} \Leftrightarrow C e^{- 1} = C^{2} e^{- 1} \Leftrightarrow C = C^{2}$

⇔ C - C ² = 0 ⇔ C (C - 1) = 0 ⇔ C = 0 ou C = 1

On a donc deux solutions et $S$ $= (f_{0} : x \mapsto 0; f_{1} : x \mapsto e^{- \frac{x}{2}})$ .

À noter
e^-¹ ≠ 0 on peut donc bien simplifier par e⁻¹. En revanche, on ne sait rien de C. Il ne faut donc surtout pas « simplifier » par C dans d’égalité C = C² (on remarque d’ailleurs que C = 0 donne une solution).

c. On sait que $\lim_{x \to + \infty} e^{- \frac{x}{2}} = 0.$ Donc quel que soit C, $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0.$

Il n’y a donc pas de solution vérifiant la condition $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty .$

Équation différentielle y' = ay + b

I) Équation différentielle y ′ = ay, a réel

II) Équation différentielle y ′ = ay + b, a réel non nul, b réel

III) Équation logistique

Méthode

Résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = ay + b