On connaît la forme des solutions des équations différentielles y ′ = ay + b où a et b sont des constantes, ce qui n’est pas le cas pour la plupart des autres équations.
I. Équation différentielle y ′ = ay, a réel
Les solutions sur ℝ de l’équation différentielle y′=ay sont les fonctions de la forme :
x ↦ Ceax, où C est une constante réelle
II. Équation différentielle y ′ = ay + b, a réel non nul, b réel
Les solutions sur ℝ de l’équation différentielle y′=ay+b sont les fonctions de la forme :
x↦Cea x−ba, où C est une constante réelle
À noter
Lorsque b = 0, on retrouve le cas précédent.
III. Équation logistique
Une équation logistique est une équation différentielle de la forme y′=kym−y, où k et m sont des réels strictement positifs.
Elle se résout par un changement de la fonction variable, qui permet de se ramener à une équation différentielle de la forme y′=ay+b.
Le modèle logistique, dû à Pierre François Verhulst, permet de modéliser l’évolution de certaines populations.
À noter
Dans les exercices, le changement de la fonction variable est systématiquement donné, il n’est pas à trouver.
Méthode
Résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = ay + b
On considère l’équation différentielle E: 2y′+y=0.
1. Déterminer les solutions de (E) sur ℝ.
2. Déterminer la (ou les) solution(s) éventuelle(s) de (E) vérifiant la condition précisée dans chacun des cas suivants :
a. f(1) = 1
b. f(2) = (f(1))2
c. limx→+∞fx=+∞
Conseils
1. On se ramène à la forme y′ = ay + b ; c’est alors une question de cours.
2. Exprimez la contrainte par une condition sur la constante C de la solution générale.
1. y solution de E⇔y′=−12y. Donc S =x↦Ce− x2, C∈ℝ.
2. f est solution de (E) donc f est de la forme fx=Ce− x2 avec C ∈ ℝ.
a. f1=1⇔Ce− 12=1⇔C=e12. Donc l’unique fonction f solution de (E) vérifiant f (1) = 1 est définie par f0x=e12×e− x2 et S=f0:x↦e 1-x2.
b. f2=f12⇔Ce−1=Ce− 122⇔Ce−1=C2e−1⇔C=C2
⇔ C - C 2 = 0 ⇔ C (C - 1) = 0 ⇔ C = 0 ou C = 1
On a donc deux solutions et S=f0:x↦0 ; f1:x↦e− x2.
À noter
e- 1 ≠ 0 on peut donc bien simplifier par e−1. En revanche, on ne sait rien de C. Il ne faut donc surtout pas « simplifier » par C dans d’égalité C = C² (on remarque d’ailleurs que C = 0 donne une solution).
c. On sait que limx→+ ∞e− x2=0. Donc quel que soit C, limx→+ ∞fx=0.
Il n’y a donc pas de solution vérifiant la condition limx→+ ∞fx=+ ∞.