Calculs dans ℂ

Il existe un ensemble de nombres plus grand que $\text{ℝ}$, l’ensemble des nombres complexes, noté $\text{ℂ}$, dans lequel on peut aussi définir les quatre opérations pour pouvoir effectuer des calculs algébriques.

I) Forme algébrique d’un nombre complexe

Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique $z=a+ib$ où a et b sont deux nombres réels, et où le nombre i vérifie ${\text{i}}^2=-1$.

L’écriture a + ib est la forme algébrique du nombre complexe z.

On note $a=\text{Re}\left(z\right)$ la partie réelle de z, et $b=\text{Im}\left(z\right)$ la partie imaginaire de z.

Soient deux nombres complexes $z=a+\text{i}b$ et $z^{\prime }=a^{\prime }+\text{i}{b}^{\prime }$, où a, b, a′, b′ sont quatre nombres réels. L’unicité de la forme algébrique se traduit par l’équivalence :

z = z′⇔ a = a′ et b = b′

Cas particuliers :

 Si $b=0$, z est un nombre réel.

 Si $a=0$ (et $b\ne 0$), z est un imaginaire pur.

II) Opérations et règles de calcul dans $\text{ℂ}$

Soient les deux nombres complexes $z=a+\text{i}b$ et $z^{\prime }=a^{\prime }+\text{i}{b}^{\prime }$, avec a, b, a′, b′ quatre nombres réels.

Tout nombre complexe admet un opposé dans $\text{ℂ}$.

L’opposé de z est le nombre complexe $-z=-a-b\text{i}$.

Tout nombre complexe non nul z admet un inverse dans $\text{ℂ}$, noté $\frac{1}{z}$.

On définit les opérations dans ℂ de la façon suivante :

 $z+z^{\prime }=\left(a+a^{\prime }\right)+\text{i}\left(b+b^{\prime }\right)$

 $z\times z^{\prime }=\left(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }\right)+\text{i}\left(a{b}^{\prime }-a^{\prime }b\right)$

 $z-z^{\prime }=\left(a-a^{\prime }\right)+\text{i}\left(b-b^{\prime }\right)$

 $\frac{z}{z^{\prime }}=z\times \frac{1}{z^{\prime }},\text{ avec }{z}^{\prime }\ne 0$

On a les identités remarquables :

III) Nombres complexes conjugués

Le nombre complexe conjugué de $z=a+\text{i}b$, $\left(a;b\right)\in {\text{ℝ}}^2$, est le nombre complexe $a-\text{i}b$. On note $\overline{z}=\overline{a+ib}=a-ib$.

Cas particuliers :

 $\overline{z}=z$ si et seulement si z est un nombre réel.

 $\overline{z}=-z$ si et seulement si z est un nombre imaginaire pur.

Soient z et z′ deux nombres complexes.

z¯¯=z

 $\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$

 $\overline{z{z}^{\prime }}=\overline{z}\overline{z^{\prime }}$

1z¯=1z¯$\left(z\ne 0\right)$

zz′¯=z¯z′¯$\left(z^{\prime }\ne 0\right)$

zn¯=z¯n$\left(z\ne 0,n\in \text{ℤ}\right)$