Calculer avec des puissances

I. Puissances d'un nombre relatif

1. Exposant positif

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1, et a un nombre relatif. On a :

$a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}_{n\text{ facteurs } a}$

$a^n$ se dit « a à la puissance n » ou « a puissance n » ou « a exposant n ».
n se nomme l'exposant.

Exemples :
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$

$(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)$

$= -(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)$

$= -32$

Remarques :
D'après la règle des signes, la puissance d'un nombre négatif est un nombre positif si l'exposant est pair, c'est un nombre négatif si l'exposant est impair.

Si l'exposant est 1 : $a^1 = a$
a puissance 2 se dit a au carré.
a puissance 3 se dit a au cube.

2. Exposant nul

Soit a un nombre relatif différent de 0, alors $a^0 = 1$

On admet qu'un nombre non nul à la puissance 0 est toujours 1.

$a^3 = a \times a \times a$
$a^2 = a \times a$
$a^1 = a$

Pour passer d'une ligne à l'autre et descendre les exposants, cela revient à diviser par a.

D'où : $a^0 = \dfrac{a}{a} = 1$

3. Exposant négatif

Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 1, et $a$ un nombre relatif.

$a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} = \dfrac{1}{\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n\text{facteurs}}}$

Exemples :

$3^{-4} = \dfrac{1}{3^4} = \dfrac{1}{3 \times 3 \times 3 \times 3} = \dfrac{1}{81}$

$(-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{(-2) \times (-2)} = \dfrac{1}{4}$

II. Opérations sur les puissances

Soit $a$ et $b$ des nombres relatifs différents de 0 et $m$ et $n$ des entiers relatifs.

Produit
$a^n \times a^m = a^{n+m}$
Exemple : $5^3 \times 5^4 = 5^{(3+4)} = 5^7$

Quotient
$\dfrac{a^n}{a^m} = a^{(n-m)}$

Exemple : $\dfrac{6^7}{6^4} = 6^{(7-4)} = 6^{3}$

Puissance de puissance
$(a^n)^m = a^{(n \times m)}$

Exemple : $(2^3)^4 = 2^{(3 \times 4)} = 2^{12}$

Puissance d'un produit
$(ab)^n = a^n \times b^n$

Exemple : $(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4$

Puissance d'un quotient
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Exemple : $\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{2^4}{3^4}$

$(-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{(-2) \times (-2)} = \dfrac{1}{4}$

III. Tableau récapitulatif

Soit $a$ et $b$ des nombres relatifs différents de $0$ et $m$ et $n$ des entiers relatifs.