Fractions comportant des lettres

J'applique maintenant mes connaissances sur les fractions à du calcul littéral, c'est-à-dire des calculs susceptibles de contenir une lettre.

I. Fractions égales

On veut écrire une fraction égale à $\dfrac{2}{x+1}$.

On choisit un nombre non nul, par exemple $3$, et on multiplie en haut et en bas par ce nombre :

$\dfrac{2}{x+1} = \dfrac{2 \times 3}{(x+1) \times 3} = \dfrac{6}{3(x+1)}$

On a bien une fraction égale à la première.

II. Addition de deux fractions

Dans cet exemple, je suppose $x\neq 3$.

On veut calculer : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{x - 3}$

Les dénominateurs sont différents : $4$ et $x - 3$.
On utilise le produit des dénominateurs comme dénominateur commun : $4(x - 3)$.

On transforme chaque fraction :
$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times (x - 3)}{4 \times (x - 3)} = \dfrac{x - 3}{4(x - 3)}$
$\dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{2 \times 4}{(x - 3) \times 4} = \dfrac{8}{4(x - 3)}$

Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on les additionne :
$\dfrac{x - 3}{4(x - 3)} + \dfrac{8}{4(x - 3)} = \dfrac{(x - 3) + 8}{4(x - 3)} = \dfrac{x + 5}{4(x - 3)}$

III. Soustraction de deux fractions

Dans cet exemple, je suppose $x\neq 0$.

On veut calculer : $\dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{2x}$

Les dénominateurs sont $x$ et $2x$. Le plus petit commun dénominateur est $2x$.

On transforme $\dfrac{5}{x}$ :
$\dfrac{5}{x} = \dfrac{5 \times 2}{x \times 2} = \dfrac{10}{2x}$

La deuxième fraction ne change pas : $\dfrac{3}{2x}$

On peut maintenant soustraire :
$\dfrac{10}{2x} - \dfrac{3}{2x} = \dfrac{10 - 3}{2x} = \dfrac{7}{2x}$

IV. Multiplication de deux fractions

Dans cet exemple, je suppose $x\neq -2$.

On veut calculer : $\dfrac{3}{x + 2} \times \dfrac{x + 2}{5}$

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
$\dfrac{3 \times (x + 2)}{(x + 2) \times 5} = \dfrac{3(x + 2)}{5(x + 2)}$

On remarque que le facteur $(x + 2)$ est présent en haut et en bas, on peut le simplifier :

$\dfrac{3(x + 2)}{5(x + 2)} = \dfrac{3}{5}$

V. Division de deux fractions

Dans cet exemple, je suppose $x\neq 1$.

On veut calculer : $\dfrac{4}{x - 1} : \dfrac{2}{3}$

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

On garde la première fraction et on inverse la seconde :
$\dfrac{4}{x - 1} \times \dfrac{3}{2}$

On multiplie les numérateurs : $4 \times 3 = 12$
On multiplie les dénominateurs : $(x - 1) \times 2 = 2(x - 1)$

Donc : $\dfrac{4}{x - 1} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{2(x - 1)}$

Et on simplifie : $\dfrac{12}{2(x - 1)} = \dfrac{6}{x - 1}$