Energie mécanique, forces non conservatives et théorème de l'énergie mécanique

• Cette fiche présentera les aspects énergétiques du mouvement, à savoir :

  $\circ\quad$ L'énergie mécanique et sa conservation dans certaines conditions ;

  $\circ\quad$ Les forces dissipatives et le théorème de l'énergie mécanique.

• $\textcolor{purple}{\text{REMARQUE IMPORTANTE}}$ : dans ces fiches, les systèmes sont assimilés à des points matériels de masse constante.

I. Énergie mécanique et systèmes conservatifs

1. Introduction

• Nous allons voir dans ce paragraphe tout l'intérêt des forces conservatives et de la notion d'énergie mécanique.

• Considérons un point matériel, de masse $m$, qui est soumis :

  $\circ\quad$ A une force conservative $\overrightarrow{F_c}$ dérivant de l'énergie potentielle $E_p$ ;

  $\circ\quad$ Et éventuellement à d'autres forces dont le travail est nul (par exemple la réaction normale du sol $\overrightarrow{R_N}$) ;

• Appliquons-lui le théorème de l'énergie cinétique entre deux points $A$ et $B$ de sa trajectoire :

  $\Delta E_c = \dfrac{1}{2}\text{m} \cdot v_B^2-\dfrac{1}{2}\text{m}v_A^2$

  $\Leftrightarrow \Delta E_c = \sum W_{AB} (\overrightarrow{F}) = W_{AB} (\overrightarrow{F_c}) + 0$

  $\Leftrightarrow \Delta E_c = E_{p}(A) - E_{p}(B)$

  ce que nous pouvons réécrire :

  $\dfrac{1}{2}\text{m} \cdot v_B^2-\dfrac{1}{2}\text{m} \cdot v_A^2 + E_{p}(B) - E_{p}(A) = 0$

  $\Leftrightarrow E_c(B) - E_c(A) + E_{p}(B) - E_{p}(A) = 0$

  $\Leftrightarrow \boxed{E_c(B) + E_{p}(B) = E_c(A) + E_{p}(A)}$

• Nous constatons que la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est la même en $A$ et en $B$, et donc en tout point de la trajectoire (puisque le calcul vaut pour n'importe quels points $A$ et $B$).

• Ceci nous amène à introduire une nouvelle notion : l'énergie mécanique.

2. L'énergie mécanique

• Définition :

  L'énergie mécanique $E_m$ d'un point matériel en $M$ désigne la somme de son énergie cinétique $E_c$ et de son énergie potentielle $E_p$ en $M$ :

  $\boxed{E_m(M) = E_c(M) + E_{p}(M)}$

• Remarque : l'expression de l'énergie potentielle $E_p$ dépend de la ou des interactions en jeu : la pesanteur, l'interaction électrostatique, etc.

3. Conservation de l'énergie mécanique

• Propriété :

  $\circ\quad$ L'énergie mécanique $E_m$ d'un point matériel soumis uniquement à une ou plusieurs forces conservatives est constante.

  $\circ\quad$ On dit que l'énergie mécanique du système se conserve ou encore que le système est conservatif.

  $\circ\quad$ Ce résultat reste valable si le point matériel subit aussi une ou plusieurs forces dont le travail est nul quel que soit le déplacement.

4. Exemples de systèmes conservatifs

• En général,

  $\circ\quad$ Si les frottements sont négligés (ou absents comme dans l'espace !)

  $\circ\quad$ Et si le système est abandonné à lui-même dans un champ de pesanteur (ou autre), c'est-à-dire que le système n'est ni poussé, ni tracté, ni propulsé (par un moteur par exemple), alors le système est conservatif.

• Exemples :

  $\circ\quad$ Un système en chute libre (= soumis seulement à son poids), car le poids est conservatif ;

  $\circ\quad$ Un système soumis uniquement à son poids et à la réaction normale du support (donc pas de frottement !), comme un objet qui dévale une pente ;

  $\circ\quad$ Le pendule simple (sans frottement), car la tension du fil est normale à la trajectoire et donc ne travaille pas ;

  $\circ\quad$ Une particule chargée en mouvement dans un champ électrostatique ;

  $\circ\quad$ Le Soleil et son cortège de planètes (avec une très bonne approximation).

• Dans un exercice, il faudra justifier que le système est conservatif en faisant le bilan des forces et en vérifiant que celles-ci sont conservatives (ou qu'elles ne travaillent pas).

5. Propriétés des systèmes conservatifs

• L'énergie mécanique d'un système conservatif est constante, elle caractérise le mouvement du système et se déduit souvent des conditions initiales du mouvement (vitesse et position initiales).

• L'énergie mécanique ne dépend que de la masse, de la vitesse et de la position : elle fournit donc une relation simple entre vitesse et position du point matériel, valable en tout point de la trajectoire.

• Les forces conservatives peuvent uniquement transformer l'énergie potentielle en énergie cinétique et vice versa : elles ne modifient pas l'énergie totale du système. En effet, nous avons la relation :

  $\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = 0$

  $\Leftrightarrow \boxed{\Delta E_c = - \Delta E_p}$

  $\circ\quad$ Si un système est conservatif, l'$E_p$ et l'$E_c$ varient donc en sens inverse l'un de l'autre.

  $\circ\quad$ Ainsi au ski ou à vélo (sans pédalage !), si on remonte une pente, la vitesse diminue et inversement en descente la vitesse augmente, essentiellement du fait que la pesanteur provoque des transformations mutuelles d'$E_p$ et d'$E_c$ lorsque l'altitude du système varie.

• Exemple de la chute libre d'un corps :

A venir dans une fiche d'exercices

II. Forces non conservatives et théorème de l'énergie mécanique

• Nous venons de voir que les forces conservatives permettaient de caractériser certains systèmes par leur énergie mécanique constante.

• Il reste à traiter le cas où un système subit des forces qui ne sont pas conservatives, grâce à un théorème important qui fait le lien entre forces non conservatives et variation de l'énergie mécanique d'un système.

1. Forces non conservatives / forces dissipatives

• Le travail des forces non conservatives entre deux points $A$ et $B$ dépend du chemin suivi par le système de $A$ à $B$. Il y a alors conversion du travail mécanique en une autre forme d'énergie.

• Font partie des forces non conservatives :

  $\circ\quad$ Les forces de frottement (solide ou fluide) : le travail est converti en chaleur ;

  $\circ\quad$ Les forces de viscosité : le travail est converti en turbulences dans le fluide extérieur puis en chaleur ;

  $\circ\quad$ Les forces de déformation lors d'un choc ;

  $\circ\quad$ Les forces de poussée, de traction, de propulsion ;

  $\circ\quad$ La tension d'un fil ou d'une corde ;

  $\circ\quad$ Les actions de liaison (réaction du support).

• Les forces dissipatives sont des forces non conservatives dont le travail est résistant (donc négatif) : nous allons voir qu'elles font diminuer l'énergie mécanique du système. Les forces de frottement sont toujours dissipatives.

2. Théorème de l'énergie mécanique

$\textcolor{purple}{\text{a. Énoncé du théorème}}$

• La variation d'énergie mécanique d'un point matériel entre les points $A$ et $B$, est égale à la somme des travaux des forces non conservatives appliquées au mobile sur le trajet $\widehat{AB}$ :

  $\boxed{\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})}$

  avec :

  $\circ\quad$ $\Delta E_m$ : variation d'énergie mécanique (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $\Delta E_c$ : variation d'énergie cinétique (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $\Delta E_p$ : variation d'énergie potentielle (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $\displaystyle \sum W_{AB}(\overrightarrow{F_{nc}})$ : somme des travaux des forces non conservatives.

  Ce théorème n'est toutefois valable que si le référentiel d'étude est galiléen.

• $\textcolor{purple}{\text{ATTENTION}}$ : dans le terme de droite n'apparaît que la somme des travaux des forces NON conservatives. Il ne faut surtout pas ajouter le travail des forces conservatives (comme le poids) car ce travail est déjà pris en compte dans la variation d'énergie potentielle.

$\textcolor{purple}{\text{b. Démonstration du théorème}}$

• Ce théorème découle directement du théorème de l'énergie cinétique.

• Considérons un point matériel, de masse $m$, qui est soumis :

  $\circ\quad$ à une ou plusieurs forces conservatives $\overrightarrow{F_c}$

  $\circ\quad$ et à d'autres forces non conservatives $\overrightarrow{F_{nc}}$

• Appliquons-lui le théorème de l'énergie cinétique entre deux points $A$ et $B$ de sa trajectoire :

  $\Delta E_c = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F})$

  $\Leftrightarrow E_c(B) - E_c(A)= \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_c}) +\displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})$

  $\Leftrightarrow E_c(B) - E_c(A)= E_{p}(A) - E_{p}(B) + \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})$

  car, par définition de l'énergie potentielle :

  $\displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_c}) = E_{p}(A) - E_{p}(B)$

  Nous en déduisons le résultat :

  $E_c(B) - E_c(A) + E_{p}(B) - E_{p}(A) = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})$

  $\Leftrightarrow \Delta E_c + \Delta E_{p} = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})$

  $\Leftrightarrow \boxed{\Delta E_m = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})}$

3. Application : mouvement d'une luge avec / sans frottement

A venir dans une fiche d'exercices

III. Le principe de conservation de l'énergie selon Richard Feynman

Extrait du cours de physique de Feynman (prix Nobel de physique), mécanique tome 1 :

« Imaginons un enfant, par exemple "Denis la terreur" qui possède des cubes absolument indestructibles, et qui ne peuvent pas être divisés en morceaux. Tous les cubes sont identiques. Supposons qu'il y ait 28 cubes. Sa mère le met dans sa chambre au début de la journée avec ses 28 cubes. À la fin de la journée, étant curieuse, elle compte les cubes avec attention et découvre une loi phénoménale - quoi qu'il fasse avec ses cubes, il en reste toujours 28 ! Ceci se répète plusieurs jours durant, jusqu'au jour où il n'y a que 27 cubes, mais un peu de recherche montre qu'il y en a un sous le tapis - elle doit regarder partout pour s'assurer que le nombre de cubes n'a pas changé. Un jour, cependant, le nombre semble changer : il n'y a que 26 cubes. Une recherche attentive montre que la fenêtre était ouverte, et en regardant dehors, elle retrouve les deux autres cubes. Un autre jour, un compte précis indiqua qu'il y en avait 30 ! Ceci la troubla au plus haut point, jusqu'au moment où elle réalisa que Bruce était passé, amenant ses cubes avec lui, et qu'il en avait laissé quelques-uns à la maison de Denis [...]

En conclusion, dans son cas, elle trouve une quantité qui doit être calculée, et qui reste toujours la même ».

_{= Merci à krinn / Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}