Calcul du taux d’évolution moyen

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I. Introduction au taux d’évolution moyen

Le taux d’évolution moyen est un concept important qui permet de résumer une série d’évolutions successives par un taux constant, équivalent en termes d’effet. Il est particulièrement utile dans les cas où une quantité subit plusieurs évolutions successives, telles que la croissance d'une population, l’évolution du capital dans une banque, ou encore les taux de croissance en économie.

Lorsqu’un phénomène évolue à un taux fixe, on peut modéliser son évolution par une fonction exponentielle. Cependant, dans de nombreux cas, il est nécessaire de déterminer un taux moyen qui puisse résumer l’évolution sur plusieurs périodes.

1.Calcul du taux d’évolution moyen

Si une grandeur $x_0$ subit $n$ évolutions successives à des taux différents $r_1, r_2, \dots, r_n$, le taux d’évolution moyen $r_{\text{moyen}}$ est celui qui donne le même effet que la multiplication de toutes les évolutions.

La formule pour calculer ce taux moyen est donnée par :
$r_{\text{moyen}} = \left( \displaystyle\prod_{i=1}^n (1 + r_i) \right)^{\frac{1}{n}} - 1$

La lettre $\Pi$ désigne le produit, et ce produit doit être réalisé pour toutes les valeurs de $i$ comprises entre $1$ et $n$. On peut écrire en développé :

$\small r_{\text{moyen}}=\left((1+r_1)\times (1+r_2)\times \cdots\times (1+r_n) \right)^{\frac 1n}-1$

On dit qu'on calcule la moyenne géométrique des taux d’évolution successifs.

II. Exemple de calcul du taux d’évolution moyen

Imaginons que la population d'une espèce évolue sur trois années successives. Sur la première année, le taux d’évolution est de $10$ ($r_1 = 0.1$), sur la deuxième année il est de $-5$ ($r_2 = -0.05$), et sur la troisième année il est de $7$ ($r_3 = 0.07$).

Nous cherchons à calculer le taux d’évolution moyen sur ces trois années. (soit $n=3$)

La formule devient :
$\small r_{\text{moyen}} = \left( (1 + 0.1) \times (1 - 0.05) \times (1 + 0.07) \right)^{\frac{1}{3}} - 1$

Commençons par calculer le produit des facteurs :
$(1 + 0.1) = 1.1, \quad (1 - 0.05) = 0.95, \quad$

$(1 + 0.07) = 1.07$

Le produit de ces trois facteurs est :
$1.1 \times 0.95 \times 1.07 = 1.12865$

Maintenant, on prend la racine cubique de ce résultat et on soustrait $1$ :
$r_{\text{moyen}} = 1.12865^{\frac{1}{3}} - 1 \approx 1.039 - 1 = 0.039$

Le taux d’évolution moyen est donc de $3.9$.

Conclusion : Le taux d’évolution moyen sur ces trois années est d'environ $3.9$.

III. Exemple avec évolution financière

Imaginons maintenant qu'un capital initial de $1000$ euros soit investi dans une banque, avec des taux de rendement successifs pendant trois années. Sur la première année, le rendement est de $5$ ($r_1 = 0.05$), sur la deuxième année, il est de $8$ ($r_2 = 0.08$), et sur la troisième année, il est de $-3$ ($r_3 = -0.03$).

Nous souhaitons calculer le taux d’intérêt moyen annuel pour ces trois années.

On applique la même formule que précédemment :
$\small r_{\text{moyen}} = \left( (1 + 0.05) \times (1 + 0.08) \times (1 - 0.03) \right)^{\frac{1}{3}} - 1$

Calculons le produit des facteurs :
$(1 + 0.05) = 1.05, \quad (1 + 0.08) = 1.08, \quad$

$(1 - 0.03) = 0.97$

Le produit de ces trois facteurs est :
$1.05 \times 1.08 \times 0.97 = 1.0878$

Ensuite, on prend la racine cubique :
$r_{\text{moyen}} = 1.0878^{\frac{1}{3}} - 1 \approx 1.028 - 1 = 0.028$

Le taux d’intérêt moyen est donc de $2.8$ par an.

Conclusion : Le taux d’intérêt moyen annuel est d'environ $2.8$.

IV. Application à la population bactérienne

Imaginons une population de bactéries qui double chaque heure pendant 2 heures, puis qui diminue de moitié pendant la troisième heure. Calculons le taux d’évolution moyen sur ces 3 heures.

Les taux d’évolution sont respectivement $+100\%$ (doublement), $+100\%$ (doublement) et $-50\%$ (réduction de moitié).

Appliquons la formule du taux d’évolution moyen :
$r_{\text{moyen}} = \left( (1 + 1) \times (1 + 1) \times (1 - 0.5) \right)^{\frac{1}{3}} - 1$

Calculons le produit des facteurs :
$(1 + 1) = 2, \quad (1 + 1) = 2, \quad (1 - 0.5) = 0.5$

Le produit des trois facteurs est :
$2 \times 2 \times 0.5 = 2$

Ensuite, on prend la racine cubique :
$r_{\text{moyen}} = 2^{\frac{1}{3}} - 1 \approx 1.260 - 1 = 0.260$

Le taux d’évolution moyen est donc de $26\%$.

Conclusion : Le taux d’évolution moyen est d'environ $26\%$.