Fonctions exponentielles : algorithmes et situations pratiques

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I. Introduction aux algorithmes et aux situations pratiques

Les fonctions exponentielles ne sont pas seulement théoriques ; elles peuvent aussi être utilisées dans des contextes algorithmiques pour résoudre des problèmes complexes. Dans cette leçon, nous verrons comment utiliser des algorithmes impliquant des fonctions exponentielles pour résoudre des situations concrètes, telles que la gestion de données ou la modélisation d’évolution dans différents domaines.

II. Application d’un algorithme à une évolution exponentielle

1. L’algorithme de calcul d’une population exponentielle

Imaginons que nous souhaitions calculer la population d’une espèce qui double chaque mois. Si la population initiale est de $P_0$ et que la population double chaque mois, la population après $t$ mois est donnée par la fonction exponentielle suivante :
$P(t) = P_0 \times 2^t$

Si on veut calculer la population après plusieurs mois, on peut écrire un algorithme simple pour faire ce calcul. Voici l’algorithme pour déterminer la population après $n$ mois, avec $P_0$ la population initiale :

Algorithme :

1. Initialiser $P_0$ (population initiale).

2. Demander à l'utilisateur le nombre de mois $n$.

3. Calculer la population après $n$ mois en utilisant la formule $P(n) = P_0 \times 2^n$.

4. Afficher la population après $n$ mois.

import math

# Fonction pour calculer la population après n mois

def calcul_population(P0, n):

return P0 2*n

# Données initiales

P0 = 100 # Population initiale

n = 4 # Nombre de mois

# Calcul de la population après 4 mois

population = calcul_population(P0, n)

print(f"Population après {n} mois : {population}")

Sortie attendue : Population après 4 mois : 1600

Exemple :

Si la population initiale est de $100$ bactéries et que l'on veut savoir combien de bactéries il y aura après $4$ mois, on utilise la formule :
$P(4) = 100 \times 2^4 = 100 \times 16 = 1~600$

Correction : La population après 4 mois sera de $1~600$ bactéries.

III. Application à la gestion des stocks

Dans la gestion des stocks, les quantités d’un produit peuvent suivre une évolution exponentielle. Par exemple, la quantité de stock restante d’un produit qui se vend à un taux constant peut être modélisée par une fonction exponentielle.

1. Exemple de vente et de réapprovisionnement

Imaginons qu'un produit se vend à un taux exponentiel de $10$ par jour. Le stock initial est de $500$ unités. Nous voulons savoir combien d'unités resteront après $7$ jours.

La formule pour la quantité restante après $t$ jours, avec un taux de décroissance de $r = -0.1$ (puisque le stock diminue), est :
$S(t) = S_0 \times \text e^{rt}$

Ici, $S_0 = 500$, $r = -0.1$, et $t = 7$ jours.

Calculons $S(7)$ :
$S(7) = 500 \times e^{-0.1 \times 7}$

$\phantom{S(7)}= 500 \times e^{-0.7}$

$\phantom{S(7)}\approx 500 \times 0.4966$

$\phantom{S(7)}\approx 248.3$

Un algorithme pourrait être :

Sortie attendue : Stock après 7 jours : 248.30 unités

Conclusion : Après 7 jours, il restera environ $248$ unités du produit en stock.

IV. Application à la modélisation financière : Calcul des intérêts composés

Les intérêts composés sont couramment utilisés dans le secteur bancaire et financier. Un capital initial $C_0$ investi à un taux d’intérêt composé $r$ sur $t$ années est donné par la fonction :
$C(t) = C_0 \times \text e^{rt}$

Si un capital de $1000$ € est investi à un taux de $5\%$ par an, composé continuellement, nous pouvons calculer la valeur du capital après $10$ ans.

La formule devient :
$C(10) = 1000 \times e^{0.05 \times 10}$

$C(10)= 1000 \times e^{0.5} \approx 1000 \times 1.6487$

$C(10)\approx 1~648.7$

Un algorithme pourrait être :

Sortie attendue : Capital après 10 ans : 1648.72 €

Conclusion : Après $10$ ans, le capital sera d'environ $1~648.7$ €.