Alignement de points et parallélisme de droites : tout vérifier par le calcul

I. Établir que trois points sont alignés ou non

Méthode : utiliser les vecteurs

Soient trois points $A$, $B$ et $C$.
On veut savoir si ces trois points sont alignés, c’est-à-dire s’ils sont sur la même droite.

On forme les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis on vérifie s’ils sont colinéaires :

• Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires → les trois points sont alignés.

• Sinon, ils ne le sont pas.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si : $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$

⚠️ A n'utiliser qu'avec un point en commun pour les deux vecteurs, ici $A$.

Exemple 1 :

$A(1\,;2)$, $B(3\,;6)$, $C(5\,;10)$

On calcule $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 1 _\ 6 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
et $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 10 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}$

On teste la colinéarité :

$2 \times 8 - 4 \times 4 = 16 - 16 = 0$

Donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, ont le point $A$ en commun donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Exemple 2 :

$A(0\,;0)$, $B(2\,;1)$, $C(4\,;3)$

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

Test : $2 \times 3 - 4 \times 1 = 6 - 4 = 2 \neq 0$
Les vecteurs ne sont pas colinéaires → les points ne sont pas alignés.

II. Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes

Méthode 1 : comparer les vecteurs directeurs

Soient deux droites $d_1$ et $d_2$ de vecteurs directeurs respectifs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$.

• Si $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ sont colinéaires → les droites sont parallèles.

• Sinon → les droites sont sécantes.

Exemple 3 :

Droite $d_1$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
Droite $d_2$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u_2} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

On teste : $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$
Les vecteurs sont colinéaires → $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

Méthode 2 : utiliser l'équation réduite

Si les droites sont données sous la forme $y = m_1x + p_1$ et $y = m_2x + p_2$, alors :

• Si $m_1 = m_2$ → les droites sont parallèles (ou confondues si $p_1 = p_2$)

• Si $m_1 \neq m_2$ → les droites sont sécantes

Exemple 4 :

$d_1 : y = 3x + 2$
$d_2 : y = 3x - 1$
$m_1 = m_2 = 3$ → les droites sont parallèles mais distinctes.

Exemple 5 :

$d_1 : y = -x + 4$
$d_2 : y = 2x + 1$
$m_1 = -1$, $m_2 = 2$ → les droites sont sécantes.

III. À retenir

• Pour tester l’alignement de trois points, on vérifie si les vecteurs formés par ces points sont colinéaires.

• Pour savoir si deux droites sont parallèles, on compare leurs vecteurs directeurs ou leurs pentes.

• Si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, alors les droites sont sécantes (elles se coupent).