Variations des fonctions de référence

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Comprends les variations des trois fonctions fondamentales : la fonction carré, la fonction inverse et la fonction racine carrée. Grâce à une démonstration rigoureuse avec le taux d’accroissement et des tableaux de variations, tu sauras repérer les comportements croissants ou décroissants de ces fonctions. Mots-clés : fonction carré, fonction inverse, fonction racine carrée, variations de fonction, taux d’accroissement, tableau de variations

I. La fonction carré

1.1. La représentation graphique

picture-in-text

2.2. La démonstration des variations sur R+\mathbb R^+.

Soient aa et bb deux réels strictement positifs avec a<ba < b.
Le taux d'accroissement de f(x)=x2f(x) = x^2 entre aa et bb est le nombre :

f(b)−f(a)b−a=b2−a2b−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{b^2 - a^2}{b - a}

On reconnaît une identité remarquable :

b2−a2=(b−a)(b+a)b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)

Donc : b2−a2b−a=b+a\dfrac{b^2 - a^2}{b - a} = b + a

Ainsi, le taux d’accroissement entre aa et bb pour la fonction carré est :

f(b)−f(a)b−a=a+b\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = a + b

Or, aa etbb sont strictement positifs, donc le taux est strictement positif et la fonction carré est strictement croissante sur R+\mathbb R^+.

On démontrerait de même que la fonction carré est strictement décroissante sur R−\mathbb R^-.

3.3. Tableau de variations

      x−∞0+∞x↦x2↘↗0\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline &&&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty&\\ &&&&&& \\\hline\\ x\mapsto x^2&&\huge\searrow&&\huge\nearrow&&\\ &&&0&&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}

II. La fonction inverse

1.1. La représentation graphique

picture-in-text2.2. La démonstration des variations sur R+∗\mathbb R^{+*}

Le taux d’accroissement de la fonction f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} entre aa et bb (avec a<ba < b et a,b>0a, b > 0) est donné par :

f(b)−f(a)b−a=1b−1ab−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a}

On met au même dénominateur le numérateur :

1b−1a=a−bab\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - b}{ab}

Donc :

f(b)−f(a)b−a=a−babb−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{\frac{a - b}{ab}}{b - a}

On remarque que a−b=−(b−a)a - b = -(b - a), donc :

a−babb−a=−1ab\dfrac{\frac{a - b}{ab}}{b - a} = \dfrac{-1}{ab}

Conclusion :
Le taux de variation entre aa et bb pour f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} est :

f(b)−f(a)b−a=−1ab\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{-1}{ab}

Ce taux est négatif, ce qui confirme que la fonction est strictement décroissante sur R+∗\mathbb{R}^{+*}.

On démontrerait de même que la fonction inverse est strictement décroissante sur R−∗\mathbb R^{-*}.

3.3. Tableau de variations

      x−∞0+∞x↦1x↘∥↘\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline x&-\infty&&0&&+\infty&\\ \hline\\ x\mapsto \frac 1x&&\searrow&\Vert&\searrow&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}

III. La fonction racine carrée

1.1. La représentation graphique

picture-in-text2.2. La démonstration des variations

Le taux de variation de f(x)=xf(x) = \sqrt{x} entre aa et bb (avec 0<a<b0 < a < b) est :

f(b)−f(a)b−a=b−ab−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a}

On peut remarquer que ce taux est positif, car b>a\sqrt{b} > \sqrt{a} et b−a>0b - a > 0.

3.3. Tableau de variations

      x0+∞x↦x↗0\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline &&&&&&\\ x&0&&&&+\infty&\\ &&&&&& \\\hline\\ x\mapsto \sqrt x&&&\huge\nearrow&&&\\ &0&&&&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}

Leçon précédente
Variations des fonctions affines